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Sonstiges (Delphi) - Primzahlen - eigenartige Muster
Pepp3r - Di 28.09.10 01:14
Titel: Primzahlen - eigenartige Muster
Hallo liebe Delphi Community,
Ich habe ein Programm geschrieben, mit dem sich Primzahlen errechnen und deren Vorkommen visualisieren lässt.
Nun sind mir viele eigenartige Muster aufgefallen. Anscheinend ist das Vorkommen von Primzahlen von irgendeiner regelmäßiger Natur.
Hier ein Screenshot:
Dies sind die Primzahlen von 2 bis 2000
Das ganze Spiel kann ich weiter führen bis 2900:
Bei 3000 ergibt sich folgendes Muster:
Ich frage mich an dieser Stelle, ob es dafür eine mathematische begründung gibt, ober ob es einfach zufall ist.
Moderiert von 
Narses: Bilder als Anhang hochgeladen.
jaenicke - Di 28.09.10 01:31
Pepp3r hat folgendes geschrieben  : |
| Ich frage mich an dieser Stelle, ob es dafür eine mathematische begründung gibt |
Wenn du ein umfassendes Muster bei der Primzahlverteilung findest, wäre das eine der größten Entdeckungen der Mathematik... ;-)
Bisher hat noch niemand ein Muster für die Verteilung von Primzahlen gefunden. Deshalb kann man diese auch so schlecht vorhersagen, z.B. wenn es um die Suche großer Primzahlen geht.
// EDIT:
Ach ja: Das Muster, das du da vermutlich meinst, entsteht, weil jede dritte Zahl durch 3 teilbar ist usw., entsprechend dem Sieb des Eratosthenes.
alzaimar - Di 28.09.10 07:43
Du wirst aus so ziemlich jedem Haufen von zufälligen Bits ein Muster 'herauslesen' können.
Erstens kommt es nur darauf an, wie man die Bits anordnet und zweitens muss der Mensch überall Zusammenhänge sehen. Auch dort, wo keine sind. Zufälle sind der menschlichen Natur zuwider.
Verschwörungstheorien und Aberglauben haben im zwanghaften Suchen (und Erkennen) von Zusammenhängen ("Das kann alles kein Zufall sein") ihren Ursprung.
Was Du übrigens siehst, ist ein Muster der Nicht-Primzahlen. Und das gibt es ja auch.
Übrigens: Wenn man die Primzahlen -egal wie- in einem Rechteck, also in jeder Zeile die gleiche Anzahl, zeichnet, ist die rechte Spalte immer leer!* Unglaublich!
Vielleicht probierst Du andere Muster aus (Dreieck, Kreis usw.)
*(ja ja, bis auf oben rechts manchmal)
Tranx - Di 28.09.10 07:59
Hallo,
natürlich gibt es Muster:
- alle Primzahlen außer 2 sind nicht gerade, da ja alle geraden Zahlen durch 2 teilbar sind
- alle Primzahlen haben keine 5 als Endziffer, da sie ja dann durch 5 teilbar wären
- die Quersumme aller Primzahlen ist nciht durch 3 teilbar, denn dann wären die Zahlen ja durch 3 teilbar
- ...
Daher gibt es gewisse Muster. Du siehst sie bis 100 deutlich:
Zehner 0: Prim (2) 3, 5, 7
Zehner 1: Prim 11, 13, 17, 19
Zehner 2: Prim 23, 29
Zehner 3: Prim 31, 37
Zehner 4: Prim 41, 43, 47
Zehner 5: Prim 53, 59
Zehner 6: Prim 61, 67
Zehner 7: Prim 71, 73, 79
usw.
Maximale Primzahlen aus den drei oben genannten Regeln:
Quersumme der Zahlen ohne Endziffer durch 3 teilbar:
Endziffern: 1 + 7
dito Rest 1:
Endziffern 1, 3, 7, 9
dito Rest 2:
Endziffern 3 + 9
Doch mit fortschreitender Zahl steigt die Anzahl möglicher Primzahlteiler und samit werden die Lücken immer größer.
Aber es gibt imer hübsche - unregelmäßige - Muster, nicht wahr? Nimm doch die geraden zahlen komplett raus!
MaxWurzel - Di 28.09.10 08:16
| alzaimar hat folgendes geschrieben : |
Übrigens: Wenn man die Primzahlen -egal wie- in einem Rechteck, also in jeder Zeile die gleiche Anzahl, zeichnet, ist die rechte Spalte immer leer!* Unglaublich!
*(ja ja, bis auf oben rechts manchmal) |
Und was ist mit dem Rechteck mit nur einer Spalte?
Tranx - Di 28.09.10 08:33
MaxWurzel: Das ist die berühmte Ausnahme von der Regel!
Horst_H - Di 28.09.10 09:10
Hallo,
eine einzige Spalte hat ja auch keine eindeutige rechte Spalte ;-)
Die Muster werden "besser", wenn man als Spaltenzahl das Produkt der ersten Primzaheln nimmt.
Statt n! eben p#
2
2*3 (6)
2*3*5 (30)
2*3*5*7 (210)
2*3*5*7*11 (2310), dass sind heutzutage wohl schon zu viele Spalten für einen Monitor
Wenn Du in der ersten Zeile alle Vielfachen dieser Primzahlen, passend zur Spaltenbreite ,also bei 2*3*5*7 = 210 mit 2/3/5/7, löschst und davon eine Kopie in die zweite Zeile machst, dort dann die Plätze der kleinen Primzahlen löschst, dann hast Du dort eine universelle Zeile, die keine Vielfachen der kleinen Primzahlen mehr enthält und kannst diese in die folgenden Zeilen kopieren.
Damit hast Du das ausstreichen dieser Primzahlen erledigt.
Gruß Horst
jasocul - Di 28.09.10 09:51
Würdest du ein Muster finden, hättest du vermutlich Chancen auf den Nobelpreis. Was nicht heißen soll, dass es kein Muster gibt. Bisher hat es nur noch keiner gefunden. Möglicherweise gibt es auch keins.
Gäbe es ein Muster, wären die Kryptographen vermutlich nicht besonders begeistert. :mrgreen:
platzwart - Di 28.09.10 10:25
Das "Muster", das dahinter steckt, ist folgendes: Mögliche Primzahlen (>3) sind folgende Zahlen: 6n+-1, also: 5/7, 11/13, 17/19, 23/25, 29/31, 35/37, ... Dadurch ergibt sich ein scheinbares Muster...
MaxWurzel - Di 28.09.10 10:25
| Horst_H hat folgendes geschrieben : |
Hallo,
eine einzige Spalte hat ja auch keine eindeutige rechte Spalte ;-)
|
1. Es gibt keine Spalte, die weiter rechts liegt als diese Spalte.
2. Es gibt keine weitere Spalte, die diese Eigenschaft hat.
Also ist die Spalte die eindeutig rechte Spalte.
Tranx - Di 28.09.10 10:49
Klar gibt es ein Muster: Es fallen alle Zahlen heraus, dioe einen ganzzahligen Teiler haben.
Doch das ist eben das Problem. Diese Zahlen sind - in einer unendlich großen Menge aller Zahlen - ebenfalls unendlich. Doch eben unendlich kleiner als die Zahl der Zahlen, die einen Teiler haben. Wenn man dieses Schema bis zu größeren Zahlen fortsetzen würde, dann würde es einer Situation wie sie in der Atmosphäre herrswcht, ähneln. Unten viele Atome (= viele Primzahlen) - weil großer Druck, und oben nur wenige Atome (= wenige Primzahlen) - weil kleiner Druck. Der einzioge Unterschied: Die Atome sind zufällig verteilt und Primzahlen aus oben angegeben Ursachen nicht.
Aber das Muster, welches man möglicherweise aus 10.000 oder 1.000.000 Zahlenlesen könnte, wird sicher bei 10^10 und mehr Zahlen nicht mehr erkennbar sein
jasocul - Di 28.09.10 10:49
| MaxWurzel hat folgendes geschrieben : |
| Horst_H hat folgendes geschrieben : | Hallo,
eine einzige Spalte hat ja auch keine eindeutige rechte Spalte ;-)
|
1. Es gibt keine Spalte, die weiter rechts liegt als diese Spalte.
2. Es gibt keine weitere Spalte, die diese Eigenschaft hat.
Also ist die Spalte die eindeutig rechte Spalte. |
Das sind lediglich die hinreichenden Bedingungen. Es fehlt die notwendige Bedingung, dass mehr als eine Spalte existiert. Dass es eine solche Bedingung geben muss folgt schon aus der Formulierung: "Es gibt keine
weitere Spalte". Dies impliziert, dass es mehr als eine geben muss. :lol:
MaxWurzel - Di 28.09.10 11:12
Nein aus der Formulierung "Es gibt keine weitere Spalte" folgt nicht, dass es noch weitere Spalten geben muss. Das größte Element einer einlementigen Mengen ist nunmal das Element selbst.
Flamefire - Di 28.09.10 12:02
Richtig. und bei einer Spalte ist eine Spalte sowohl die "linke" als auch die "rechte" spalte
Zwecks notwendig: Ich kann dir eine Menge v. Zahlen nennen, in der alle Zahlen Primzahlen sind, durch 2 teilbar aber weder 2 noch negativ sind: Die leere Menge ;)
jasocul - Di 28.09.10 12:03
@MaxWurzel:
In dem Fall redet man von einer Liste. :wink:
@Flamefire:
Wie sagte meine Mathe-Prof immer?
Mit der falschen Voraussetzung kann man alles beweisen.
Flamefire - Di 28.09.10 12:12
tja.
Aussagenlogik: Aus falschem folgt alles
Prädikatenlogik: Aus der leeren Menge folgt alles ^^
B2T: @OP: Du könntest die Methode verwenden, um Schnell Primzahlen zu finden: Also dir solche Rechtecke nehmen und dann jeweils "rausstreichen" was eh nix ist. Analog zum Sieb
Jakob_Ullmann - Di 28.09.10 17:43
| Tranx hat folgendes geschrieben : |
| Doch mit fortschreitender Zahl steigt die Anzahl möglicher Primzahlteiler und samit werden die Lücken immer größer. |
Primzahlen sind unregelmäßig verteilt. Das heißt auch, dass mal ganz oft keine kommen kann und dann gleich tausende auf einmal.
Interessant wäre hier noch der Primzahlsatz:
pi(x) ~ x / ln(x), pi(x) = Anzahl der Primzahlen <= x.
alzaimar - Di 28.09.10 18:41
| MaxWurzel hat folgendes geschrieben : |
| alzaimar hat folgendes geschrieben : |
Übrigens: Wenn man die Primzahlen -egal wie- in einem Rechteck, also in jeder Zeile die gleiche Anzahl, zeichnet, ist die rechte Spalte immer leer!* Unglaublich!
*(ja ja, bis auf oben rechts manchmal) |
Und was ist mit dem Rechteck mit nur einer Spalte? |
Dann ist es kein Rechteck, sondern eine Linie. So pixeltechnisch, irgendwie.
Aber klar, ich hätte das auch präzisieren können. Nur schreibe ich nicht für Torfnasen.
Kha - Di 28.09.10 18:54
| jaenicke hat folgendes geschrieben : |
| Wenn du ein umfassendes Muster bei der Primzahlverteilung findest, wäre das eine der größten Entdeckungen der Mathematik... ;-) |
| jasocul hat folgendes geschrieben : |
| Würdest du ein Muster finden, hättest du vermutlich Chancen auf den Nobelpreis. Was nicht heißen soll, dass es kein Muster gibt. Bisher hat es nur noch keiner gefunden. Möglicherweise gibt es auch keins. |
Zwischen einem Muster und einem effizienten Primzahltest besteht dann doch noch ein kleiner Unterschied ;) . Ein bekanntes Muster, das - anscheinend - unbegrenzt auftritt:
Die Ulam-Spirale [
http://en.wikipedia.org/wiki/Ulam_spiral].
hansa - Di 28.09.10 19:05
Oh je, jetzt sogar Zahlentheorie ? :shock: Wie wärs mit Rechts- und Links-Null ? Dürften hier wohl einige wissen, was das ist. :mrgreen: Eines steht jedenfalls fest : sollte da ein Schema/Formel entdeckt werden, um Primzahlen zu berechnen, dann ist für meine EC etc. Karten die Schere angesagt. :lol:
Wenn ich jetzt allerdings an Chaostheorie denke (insbesondere Apfelmännchen), dass man selbst so etwas berechnen kann, dann würde ich mich nicht wundern, wenn es tatsächlich Formel für beliebige Primzahlen gibt. Die hat aber noch keiner. :P
Jakob_Ullmann - Di 28.09.10 19:17
| hansa hat folgendes geschrieben : |
| Wenn ich jetzt allerdings an Chaostheorie denke (insbesondere Apfelmännchen), dass man selbst so etwas berechnen kann, dann würde ich mich nicht wundern, wenn es tatsächlich Formel für beliebige Primzahlen gibt. Die hat aber noch keiner. :P |
So viel kann man da doch gar nicht berechnen. Das ist ja gerade der Witz an Chaostheorie, dass du das Verhalten nicht auf lange Zeit voraussehen kannst.
Hidden - Di 28.09.10 19:28
Berechnen geht, nur Messen halt nicht genau genug!11 :lupe:
Jakob_Ullmann - Di 28.09.10 19:32
Was kannst du denn alles berechnen? Eigentlich gar nichts, ohne zu iterieren (bezieht sich auf Mandelbrot). Abstand von innen, Abstand von außen, Zugehörigkeit J/N geht ja alles nicht, ohne vorher ein bisschen iteriert zu haben. Und bei Primzahlen wäre das ja jetzt quasi Sieb des Eratosthenes anwenden...
Gammatester - Di 28.09.10 20:25
| hansa hat folgendes geschrieben : |
| Eines steht jedenfalls fest : sollte da ein Schema/Formel entdeckt werden, um Primzahlen zu berechnen, dann ist für meine EC etc. Karten die Schere angesagt. :lol: |
1. Natürlich gibt es Formeln für Primzahlen! Aber vielleicht meinst Du Polynom-Funktionen? Auch die gibt es; in dem Sinne, daß die positiven Werte genau die Primzahlen sind; allerdings nicht Polynome mit einer Unbestimmten X. Wer näheres wissen will: siehe das elementare Buch von Ribenbiom "Die Welt der Primzahlen - Geheimnisse und Rekorde".
2. Die Sicherheit Deiner EC-Karte hängt mit hoher Wahrscheinlichkeit nicht von Schemata/Formeln für Primzahlen ab, sondern eher von der Schwierigkeit zu Faktorisieren bzw. diskrete Logarithmen zu berechnen.
hansa - Di 28.09.10 22:58
| Zitat: |
| So viel kann man da doch gar nicht berechnen. Das ist ja gerade der Witz an Chaostheorie, dass du das Verhalten nicht auf lange Zeit voraussehen kannst. |
Ja, ich weisss. Der Schmetterling in Tokio löst Erdbeben in Afrika aus. 8) Jaja, es ist entsetzlich. :mrgreen: War eigentlich auch nur als kurioses Beispiel für die Primzahlen gedacht.
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