thepaine91 - Mi 04.02.15 16:50
Titel: Lineare Abhängigkeit von Vektoren

---

Hi,

und zwar habe ich die Vektoren
1 | 4 | 3
2 | 5 | 2
3 | 6 | 3
die linear abhängig wären wenn sich der 0 Vektor ausschließlich erzeugen lässt in dem jeder Vorfaktor 0 ist.
Wenn ich das mit dem Gauß-Algorithmus löse sind sie unabhängig, was mir auch ein Rechner bestätigt. Die Lösung sagt allerdings, dass sie linear abhängig sind.

Ich möchte ungern meinen Professor zu unrecht beschuldigen, deswegen frage ich jetzt erst mal euch. ;)

Wäre super wenn mir jemand dazu was sagen kann. :)

Mathematiker - Mi 04.02.15 17:41

---

Hallo,
drei Vektoren a,b,c sind im R³ linear abhängig, wenn c nicht als Linearkombination von a und b dargestellt werden kann, d.h. eine Lösung m a + n b = c existiert.
Komponentenweiser Ansatz ergibt
m 1 + n 2 = 3
m 4 + n 5 = 6
m 3 + n 2 = 3
Dieses überbestimmte Gleichungssystem hat keine Lösung, d.h. die Vektoren sind linear unabhängig.
Als 2.Möglichkeit löst man das Gleichungssystem
m 1 + n 2 = 3
m 4 + n 5 = 6
mit m = -1 und n = 2.
Einsetzen in die 3.Gleichung führt zu einem Widerspruch, d.h. linear unabhängig.
Allerdings gilt diese Rechnung nur, wenn du mit
1 | 4 | 3
2 | 5 | 2
3 | 6 | 3
die Vektoren a = (1 | 4 | 3), b = (2 | 5 | 2), c = (3 | 6 | 3) meinst.

Beste Grüße
Mathematiker

thepaine91 - Mi 04.02.15 18:37

---

Erst mal danke für deine Antwort.

Mathematiker hat folgendes geschrieben :

Allerdings gilt diese Rechnung nur, wenn du mit 1 | 4 | 3 2 | 5 | 2 3 | 6 | 3 die Vektoren a = (1 | 4 | 3), b = (2 | 5 | 2), c = (3 | 6 | 3) meinst.

Ich habe die Vektoren vertikal geschrieben, also a = (1,2,3) b = (4,5,6) c = (3,2,3).
Daraus habe ich mit dem Gauß-Algorithmus folgendes erstellt:
1 4 3 | 0 -------------------------------- 1 +4 +3 | 0
2 5 2 | 0 - und Aufgelöst ergab das - 0 -3 -4 | 0
3 6 6 | 0 -------------------------------- 0 +0 +2 | 0

Was ja bedeuten würde es gibt eine Lösung, welche wäre das alle Vorfaktoren 0 sind bzw. die Vektoren linear unabhängig sind.

Prinzipiell kommen wir also auf das selbe Ergebnis, wenn ich jetzt nichts falsch verstanden habe.

Mathematiker - Mi 04.02.15 18:45

---

Hallo,

thepaine91 hat folgendes geschrieben :

Ich habe die Vektoren vertikal geschrieben, also a = (1,2,3) b = (4,5,6) c = (3,2,3). ... Prinzipiell kommen wir also auf das selbe Ergebnis, wenn ich jetzt nichts falsch verstanden habe.

Genau. Auch in diesem Fall sind die 3 Vektoren linear unabhängig.

Beste Grüße
Mathematiker

thepaine91 - Mi 04.02.15 18:57

---

Nochmals danke und dann hat tatsächlich der Prof. den Fehler gemacht.

Die Frage ist somit beantwortet. :)

GuaAck - Mi 04.02.15 19:34

---

Geht auch mit der Determinante:

D = 1*5*3+4*2*3+2*6*3-3*3*5-2*6*1-2*4*3 = -6, also ungleich null, Vektoren nicht linear abhängig.

Insofern ist es egal, ob die zeilen oder die Spalten als Vektoren gemeint sind.

Gruß
Guaack

mandras - Mi 04.02.15 23:10

---

"Die Lösung sagt allerdings.."

Kannst Du die hier mal einstellen (eine Lösung hat ja auch einen Lösungsweg). Da wäre ich neugierig.
Oder steht nur das Ergebnis drin?

thepaine91 - Di 17.02.15 14:01

---

Hallo,

mandras hat folgendes geschrieben :

"Die Lösung sagt allerdings.." Kannst Du die hier mal einstellen (eine Lösung hat ja auch einen Lösungsweg). Da wäre ich neugierig. Oder steht nur das Ergebnis drin?

Die Lösung hatte keinen Lösungsweg beinhaltet.