maze2k - Mi 22.10.03 15:47
Titel: Lineare Algebra

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Hi, habe ein Problem, ich weiss nicht wie ich diese Aufgabe lösen soll:
bzw. ich hab schon einige Ansätze, aber ich hätte gerne einen korrekten *g*

Aufgabe:
Man diskutiere alle Möglichkeiten für die Lösbarkeit des Gleichungssystems

ax + by = e
cx + dy = f

(a,b,c,d,e,f gegeben; x,y gesucht)

Ich weiss dass es entweder keine, eine oder unendlich viele Lösungen gibt, aber ich weiss nicht wie ich das mathematisch korrekt ausdrücke und wie ich das aus diesem Gleichungssystem herleite und welche Fälle ich unterscheiden muss.

Bitte helft mir schnell, ist sehr wichtig!

Btw: ich brauche natürlich eine Lösung für diese allgemeine Form.

CenBells - Mi 22.10.03 15:57

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muss da jemand morgen die sachen abgeben? *g*

Ich weiß zwar noch nicht, was ihr da so hattet, aber habt ihr schon lineare abhänggkeit gemacht?

Gruß
Ken

maze2k - Mi 22.10.03 16:08

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Wir haben die Gauß-Elimination gemacht... sonst noch nich sehr viel...


Mir fällt da grad was ein:

Wenn a=b=c=d=0 sind, gibt es zwei möglichkeiten:
- wenn e=f=0 dann gibt es unendlich viele Lösungen (Trivialfall)
- wenn e oder f (oder beide) ungleich 0 sind, dann ist das System unlösbar. (Logisch... dann würde dastehen z.B. 0=1)

Aber welche Fälle gibt es noch (ich weiss dass noch der Fall für genau eine Lösung fehlt...aber wie stell ich den auf, und fehlen sonst noch Fälle?)

Christian S. - Mi 22.10.03 16:17

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Hi!

Ich habe mal ein bisschen was geschrieben. Da man hier keine Matrizen schreiben kann, habe ich es in LaTeX gemacht.

Hier gibt es das Schmuckstück [http://www.stelzmann-duesseldorf.de/linalg.pdf]. Alles ohne Gewähr!

MfG
Peter

P.S.: Bin Physiker. Könnte also sein, dass sich einem Mathematiker bei meiner Lösung der Magen umdreht. ;-)

maze2k - Mi 22.10.03 16:20

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Das schaut ja ganz nett aus,
aber leider hatten wir noch keine Matrizen...
Also scheidet dieser Lösungsweg schonmal aus :(

Christian S. - Mi 22.10.03 16:38

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Na gut!

Dann musst Du es wohl auf dem normalen Weg machen. Löse eine der Gleichung nach einer Variablen auf. Also z.B. nach x. Du hast dann irgendwas da stehen mit x = f(y), wobei f(y) ein Bruch ist. Der Nenner dieses Bruches muss ungleich Null sein. Das ist schon mal eine Bedingung, damit das Ding 'ne Lösung hat.

Dieses x setzt Du dann in die andere Gleichung ein. In dieser Gleichung kommt als Variable dann nur noch das y vor. Diese Gleichung kannst Du dann nach y auflösen. Dabei ist y dann ebenfalls wieder ein Bruch. Dessen Nenner darf wiederum nicht Null sein. Schon wieder eine Bedingung. Das y kannst Du dann wieder einsetzen, um ein x herauszubekommen. Das sollte ebenfalls ein Bruch sein. -> noch eine Bedingung.

Und dann solltest Du fertig sein.

MfG
Peter

maze2k - Mi 22.10.03 16:41

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Ja das hört sich ganz gut an, sowas ähnliches hab ich acuh schon gemacht (ich hab beide nach y aufgelöst und gleich gesetzt)...

Aber dann bekomm ich ja nur heraus ob es lösbar ist oder nicht,
nicht wie viele Lösungen es gibt. Angenommen es ist lösbar dann kann es immer noch 1 oder unendlich viele Lösungen geben.

CenBells - Mi 22.10.03 16:46

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hallo, du kannst auch betrachten, was passiert, wenn du mit elementaren zeilenumformungen rumspielst
. Gruß
Ken

barfuesser - Mi 22.10.03 16:49

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Wenn Du eine formelmäßige Lösung für x und y hast, weißt Du auch in welchen Situationen mehrere bzw. keine Lösung vorhanden ist. Ist die Lösungsgleichung 1. Ordnung, dann gibt es 1 Lösung, ist sie 2. Ordnung, dann gibt es (u.U.) zwei Lösungen usw. Keine Lösung gibt es, wenn sich durch das Einsetzungs-, Gleichsetzungs- oder Gauß-Verfahren keine Lösung erzielen läßt.

barfuesser

maze2k - Mi 22.10.03 16:49

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Hmm. Kann ich das? *g*
Wie wär's mit ner kurzen Erklärung :)

DeCodeGuru - Mi 22.10.03 18:08

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dett kann doch eigentlich nicht so schwer sein. Im Prinzip sind die beiden Gleichungen ja nur zwei lineare Funktionen. D.h., dass die Graphen der Funktionen nur einen Schnittpunkt haben (außer sie sind parallel, dann wären es unendlich viele) oder keinen, wenn sie parallel sind aber das n der Normalform ungleich dem n der anderen Funktion ist.



Jetzt kann man doch ganz einfach die Fälle aufschreiben, wenn man sich den Graphen vorstellt, oder etwa nicht?

1. Fall (keine Lösung): a/b = c/d und e/b <> f/d
2. Fall (1 Lösung): a/b <> c/d
3. Fall (unendlich viele Lösungen): a/b = c/d und e/b = f/d