Entwickler-Ecke :: Thema anzeigen - Mathe. Kleinste abstand zum Ursprung

fcg - Sa 09.10.04 09:22
Titel: Mathe. Kleinste abstand zum Ursprung

Hallo

ich habe eine funktion (x-1)², und soll den kleinste Abstand eines Punktes x,y auf der Funkrion bestimmen. Die hier ist der Lsungsansatz. Leider versteh ich nicht, wieso man erstes ne nullstelle rät, und zweitens Polynomdivsion machen soll. http://www.8ung.at/harry.weiss/121-3.htm

thÄnxX
fcg

GTA-Place - Sa 09.10.04 09:32

Achja, Funktionen. Lernen wir auch gerade in der Schule ^^
Aber noch ned so schwer. Welches Klasse ist denn das?

Kann dir net helfen, da die Funktionen, wie ich schon sagte, zu schwer für mich sind!

sourcehunter - Sa 09.10.04 10:52

Das was ihr da machen sollt nennt sich Extremwertproblem. Ich habe in der Schule gelernt, dass man sowas mit Differentialrechnung löst. Genau das ist auch in dem Beispiel gemacht worden. Bei solchen Problemen ist die Nullstelle der 1.Ableitung die Stelle, an der der Extremwert der Funktion liegt. Die Polynomdivision wird gmacht, um sicherzu gehen, dass alle Nullstellen gefunden wurden.

fcg - Sa 09.10.04 10:55

aber raten? das dauert doch viel zu lange! ich rate doch nicht auf anhieb 0,4103...

sourcehunter - Sa 09.10.04 11:01

Der hat die ja auch nicht geraten. Er sagt was von TAE, was auch immer das sein soll, das musst du schon wissen.

Gausi - Sa 09.10.04 11:11

Ok. Dann fang ich mal an, und zwar von vorne. Wie man die Funktion d(x) erhält, ist dir ja noch klar. Das ist die Abstandsfunktion, wenn man sie so nennen möchte.
Der Abstand soll minimal werden, also suchen wir eine Extremstelle der Funktion. Eine Extremstelle finden wir, indem wir die Nullstellen der ersten Ableitung suchen. Das ist d'(x), ein nicht ganz einfacher Bruch. Nullstellen einer gebrochen rationalen Funktion bestimmt man, indem man die Nullstellen des Zählers bestimmt. Soweit war ja alles klar.

Der Zähler ist aber eine Funktion dritten Grades (x^3), und man kann auch nicht durch einen einfachen Trick (ein x ausklammern oder) das auf eine quadratische Form bringen. Es gibt zwar Lösungsformeln (wie die p-q-Formel) für Gleichungen dritten Grades, aber die sind entsprechend kompliziert.
Daher bleibt (in der Schule) nur, eine Nullstelle zu raten (oder das/der/die TAE zu fragen). Damit hat man eine Nullstelle. Ein Polynom dritten Grades kann aber bis zu drei reelle Nullstellen haben. Diese sind auch Kandidaten für die Minimalstelle der Abstandsfunktion. Mit Hilfe der geratenen Nullstelle und Polynomdivision kann man den Grad des Polynoms um eins reduzieren, auf eins mit Grad zwei. Dieses kann man mit der p-q-Formel lösen. Was aber in diesem Fall scheitert, da "unter der Wurzel was negatives steht." Also ist die geratene Nullstelle die einzige.

Das Nullstellen raten und anschließende Polynomdivision ist also nichts weiter als eine Technik, um an alle Nullstellen einer Funktion höheren Grades zu kommen. Je höher der Grad der Polynomfuktion ist, desto schwieriger wird es. Man kann sogar beweisen, dass es für Funktionen mit Grad >=5 keine Lösungsformel gibt. Da bleibt nur noch, die Nullstellen irgendwie näherungsweise zu berechnen. Und für die Schule gibt es keine andere Möglichkeit, als bei x^3 irgendwie eine Nullstelle zu raten, und dann weiterzumachen. Alles andere ist zu kompliziert.

Edit: zu dem raten: Das ist eine bekloppte Aufgabe. Normalerweise haben die Schulaufgaben eine Nullstelle bei -3, -2, -1, 1, 2 oder 3. Die 0,40irgendwas sind ja auch nicht wirklich geraten, sondern hergezaubert worden, von einem Ding oder Programm, was sich wohl TAE nennt. In einer Arbeit kann man mit den 6 genannten Zahlen die Aufgabe in aller Regel lösen!

fcg - Sa 09.10.04 12:08

TAE = Try And Error. Aber raten is klar, nur wenn die Nullstele bei 0,43 nochwas leigt, da rate ich den ganze Vormittag für!

Gausi - Sa 09.10.04 12:18

Wenn TAE kein Zauberkasten ist (ich hatte da an was von Texas Instruments oder so gedacht, die haben ja so Schul-Taschenrechner-Computer), sondern nur Try-and-Error, dann habt ihr doch bestimmt Methoden gelernt, wie man vernübftig rät, oder? Sowas wie Intervallschachtelungen?
Wenn nicht, dann frag doch mal bitte deinen Lehrer/den Autor dieser Aufgabe, was man rauchen muss, um so eine Aufgabe zu stellen. Ich hätte dann auch gerne was davon. :roll:

D. Annies - Sa 09.10.04 12:46

Hi,

mit Sicherheit spielt bei deinem "Raten" das Newton'sche Näherungsverfahren eine Rolle, ein bewährtes Verfahren, um in ca. 4 bis 5 Iterationen bei einem BELIEBIG gewählten Startwert sehr dicht bei der Nullstelle zu "landen". (Habe ich schon geproggt).Allerdings kenne ich auch die -2, -1, 1, 2 - Nullstellen.

Lass dich nicht entmutigen!

Gruß, Detlef Annies

Karlson - So 10.10.04 22:09

moin,

Also ich hab so einen Zauberkasten von Ti, der rechnet mir ebenfalls die Nullstelle an der stelle 0,41 aus. Kanns nicht sein das mit TAE einfach nur gemeint ist den GTR die Arbeit machen zu lassen? Der Taschenrechner macht das nämlich genau auf die Art, er geht wert für Wert durch und überprüft ob y=0 ist (besser gesagt geht er die bereits errechnete Datenbank durch).

Eine andere Lösung kann ich mir beim besten willen nicht vorstellen. Wie soll man auf ein so genaues Ergebniss nur durch raten kommen?!

Aber frag doch einfach mal deinen Lehrer :)

@gta-Place: Wie schon im Aufgabenlink steht, scheint er sich 12-1 zu befinden, also das erste Halbjahr der 12. Klasse. Passt auch zum Stoff, wobei ich sagen muss das ihr ziemlich weit seid :) Wir beginnen gerade erst mit verketteten Funktionen :)

BenBE - Mo 11.10.04 00:09

Guck dir mal Regula Falsi an.