Entwickler-Ecke :: Thema anzeigen - Kleiner Ausflug in die Mathewelt

Karlson - Sa 12.03.05 22:35
Titel: Kleiner Ausflug in die Mathewelt

Moin,

Ich habe gerade einen Thread gelesen (der über PI und das formatieren der Eingaben usw.) und da ist mir was aufgefallen.
Die Zahl PI ist ja soweit ich weiss eine ireele Zahl, sprich sie hat sozusagen kein Ende. Zumindest glaube ich das irgendwann in der Unterstufe gelernt zu haben :gruebel:

Wenn dem aber so ist, dass die Zahl unendlich viele Nachkommastellen hat, dann ist das ein Fehler in der Mathematik.
PI wird ja benutzt um z.B. den Flächeninhalt eines Kreises zu berechnen.

Dadurch, dass PI überhaupt garkeinen genauen Wert hat, wird auch das Ergebniss der A = Pi*r² immer gerundet sein müssen. Der Flächeninhalt eines Kreises ist aber irgendein Wert, der endlich ist. Oder liege ich da falsch, und die Idee ist, die Punkt des Kreises immer genauer werden zu lassen? Ein 100%ig perfekter Kreis müsste dennoch einen endlichen Wert als Inhalt haben. Wie kann das sein?

IngoD7 - Sa 12.03.05 23:13

((Im Folgenden ist "unendlich" als "unendliche viele Nachkommastellen" zu verstehen.))

Pi ist unendlich. Das kann und darf aber auch für den Kreisinhalt gelten.
Bei einem Kreis mit Radius 1 ist A = 3,1415926.... --> also Pi, und damit auch unendlich. Das ist doch auch kein Problem.

Aber die Folgerung, dass, wenn ein Operand einer Berechnung unendlich ist, es auch das Ergebnis der Berechnung sein muss, ist nur bedingt zulässig. Das (ungenaue!) Ergebnis der Berechnung kann unendlich sein, das eigentliche "wirkliche" Ergebnis muss es jedoch nicht unbedingt sein.

Beispiel:

Teile 10 durch 3 und du erhälst auch eine unendliche Zahl, nämlich 3,33333....

Jeder weiß nun, dass 3,33333.... x 3 wieder 10 ergibt. 10 wird aber (ohne Rundungen) nie herauskommen, weil man nie die ganze Zahl 3,33333.... zur Berechnnung wird heranziehen können. Man erhält als Ergebnis also nicht 10, sondern 9,99999.... Damit lebt man. Das heißt aber nicht, dass das eigentliche Ergebnis (also 10) nicht endlich wäre. Es ist endlich.

Genau so kann (muss aber nicht) der Inhalt eines Kreises endlich sein. Man wird nur (ohne Rundungen) nie auf das genaue Ergebnis kommen, weil man nie die ganze Zahl Pi zur Berechnung heranziehen kann.

IngoD7 - Sa 12.03.05 23:56

Karlson hat folgendes geschrieben:

Wenn man also so argumentiert, dann muss PI irgendwann aufhören. Und zwar dann, wenn der Kreis bis auf die Atome genau ist.

Atome? Sind doch riesengroß. :lol: Aber selbst, wenn du die kleinsten bekannten Teilchen für deine Aussage hernimmst, stimmt sie nicht!

Weil, es geht rein theoretisch immer noch feiner. Die Mathematik kennt an dieser Stelle keine physikalischen Grenzen; sie rechnet quasi immer weiter.

Nimm ein Holzstück von exakt einem Meter Länge. Teile dieses Holzstück in 6 gleichlange Teilstücke (16,666..... cm) auf. Messe jetzt die Länge eines Teilstücks. Du wirst die Länge nie ganz genau messen. Selbst mit der feinsten Maßeinheit auf deinem Längenmessgerät wird das Ende des Teilstückes nie auf einem Strich liegen. Es bleibt immer etwas übrig, was mit einer noch kleineren Maßeinheit ermittelt werden muss.

Hierbei gilt auch: Irgendwann hat deine allerfeinste Maßeinteilung auf deinem Meßgerät nur noch die Ausmaße eines dem Menschen kleinsten bekannten Teiles. Du arbeitest schon mit Elektronen-Raster-Mikroskopen und dergleichen und bist eigentlich am Ende deiner Möglichkeiten angekommen. Das interessiert die Mathematik aber nicht! Du bist immer noch nicht auf das wirklich genaue Messergebnis gekommen. Kannst du auch nicht - ist ja unendlich.

Trotzdem ist dein Teilstück (das kleine Stück Holz in deiner Hand) klar begrenzt. Es geht von einem Ende bis zum anderen Ende. Aber die Zahlendarstellung dieser klar begrenzten Länge gelingt in diesem Fall nicht. Mit Pi ist es ebenso.

Alni - So 13.03.05 02:04

Der Vergleich von Zahlen wie 0,3333333 ... und PI ist meiner Meinung nach nicht ganz passend, da:

1. 0, Periode 3 sich als Bruch darstellen lässt und damit eine rationale Zahl ist. PI dagegen ist irrational

2. Ob man einen Masstab besitzt an dem man eine rationale Zahl genau abmessen kann liegt nur daran wie man den Masstab definiert. z.B.: Mach aus dem einen Meter Holz 6 Meter und du kannst 1/6 genau abmessen. Das ist bei irrationalen Zahlen aber niemals möglich, da sie keine Periode besitzen.

Deshalb schlage ich einen anderen Vergleich vor: nehmen wir die Wurzel aus 2. Diese ist ebenfalls irrational. Dennoch ergibt Wurzel 2 ins Quadrat eine genau Zahl die man mit endlich vielen Dezimalstellen darstellen kann.

Der Kern des ganzen ist generell die gewählte Darstellung. Pi z.B.: lässt sich durch eine Reihe darstellen :

pi = 4*(1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+1/13 ... -1/(n-2) + 1/n ; n ungerade

Und auch wenn man damit nicht leicht umgehen kann ist es dennoch mathematisch betrachtet ein exakter Wert.

delfiphan - So 13.03.05 02:07

Karlson hat folgendes geschrieben:

Die Zahl PI ist ja soweit ich weiss eine ireele Zahl, sprich sie hat sozusagen kein Ende.

Erstens mal zu Pi selbst: Pi ist eine theoretische Zahl. Sie ist irrational - hat also unendlich viele Nachkommastellen. Aber Achtung! Pi ist eine reelle Zahl und hat einen ganz bestimmten Wert!

Karlson hat folgendes geschrieben:

Wenn dem aber so ist, dass die Zahl unendlich viele Nachkommastellen hat, dann ist das ein Fehler in der Mathematik.

In der Mathematik gibt es prinzipiell keine Fehler. Definition, Satz, Beweis, Definition, Satz, Beweis. ;)

Karlson hat folgendes geschrieben:

Dadurch, dass PI überhaupt garkeinen genauen Wert hat, wird auch das Ergebniss der A = Pi*r² immer gerundet sein müssen.

Pi hat einen genauen Wert und A = pi*r^2 muss nicht zwingend irrational sein.

Karlson hat folgendes geschrieben:

Ein 100%ig perfekter Kreis müsste dennoch einen endlichen Wert als Inhalt haben. Wie kann das sein?

Du verwendest das Wort "endlich" falsch. Ein Kreis mit einem endlichen Radius hat auch immer eine endliche Fläche, die Fläche kann aber irrational sein, muss aber nicht. Um also deine Frage zu beantworten: Die Fläche eines Kreises muss nicht rational sein, genau so wie die Länge einer Linie nicht rational sein muss. Man nehme einen Kreis mit Fläche 1, dann ist der Radius (eine Strecke) irrational.

Übrigens: Ob eine rationale Zahl unendlich viele Nachkomastellen hat oder nicht hängt vom verwendeten Zahlensystem ab: Was "0,8" im Zehnersystem ist, ist im Binärsystem "0,110011001100..." und im Oktalsystem "0,631466314663146...". Ob man also eine Zahl vollständig auf ein Blatt schreiben kann oder nicht ist eigentlich irrelevant. (Um es aber vorwegzunehmen: Pi hat in jedem Zahlensystem unendlich viele (nicht periodische) Nachkommastellen)

Dass man prinzipiell keine "perfekten Kreise" auf ein Blatt zeichnen kann (wegen den Atömchen) hat nichts mit dem Problem zu tun.

Und zum Schluss noch die übliche Definition der Mathematiker: ;)

Zitat:

Sei f eine Funktion, für die gilt: f"=-f und f(0)=0. Dann ist Pi die kleinste positive, reelle Zahl für die gilt f(x)=0.

wdbee - So 13.03.05 08:49

delfiphan hat folgendes geschrieben:

In der Mathematik gibt es prinzipiell keine Fehler. Definition, Satz, Beweis, Definition, Satz, Beweis. ;)

@delphiphan: Sorry, aber das ist nicht wahr. Kurt Gödel (1906-1978) hat in seiner Dissertation den Beweis erbracht, das es nicht möglich ist, aus den Axiomen der Mathematik heraus die Widerspruchsfreiheit dieser Axiome zu beweisen.

Außerdem stützen sich viele Arbeiten in der Mathematik auf eine Vermutung. Die erziehlten Ergebnisse sind nur gültig, wenn diese Vermutung richtig ist. Aber die Vermutung wurde noch nicht bewiesen: Die Riemannsche Vermutung.

Lit: Marcus du Sautoy, Die Musik der Primzahlen - Aufden Spuren des größten Rätsels der Mathematik, C.H.Beck ISBN 3 406 52320 X

IngoD7 - So 13.03.05 11:08

Alni hat folgendes geschrieben:

1. 0, Periode 3 sich als Bruch darstellen lässt und damit eine rationale Zahl ist. PI dagegen ist irrational

2. Ob man einen Masstab besitzt an dem man eine rationale Zahl genau abmessen kann liegt nur daran wie man den Masstab definiert. z.B.: Mach aus dem einen Meter Holz 6 Meter und du kannst 1/6 genau abmessen. Das ist bei irrationalen Zahlen aber niemals möglich, da sie keine Periode besitzen.

Zustimmung.
Doch wollte ich weniger die wissenschaftliche Klärung von Pi betreiben (was mittlerweile in diesem Thread der Fall zu sein scheint) :wink: , sondern ich wollte Karlsons "Theorie" widerlegen, dass, sobald an einer Berechnug eine Zahl mit unendlich vielen Nachkommastellen beteiligt ist, auch das Ergebnis (z.B. die Kreisfläche) nie exakt ermittelt werden könne. Ebenso wollte ich gegen Karlsons These angehen, die Teilchenphysik würde die Unendlichkeit der Nachkommastellen in der Mathematik begrenzen können.

Dazu taugten meine Beispiele. Ebenso wie

Alni hat folgendes geschrieben:

nehmen wir die Wurzel aus 2. Diese ist ebenfalls irrational. Dennoch ergibt Wurzel 2 ins Quadrat eine genau Zahl die man mit endlich vielen Dezimalstellen darstellen kann.

In meiner "Beweisführung" war also wurscht, ob eine Zahl mit unendlich vielen Nachkommastellen irrationaler oder rationaler Natur ist. 8)

Kern von Karlsons Irrtum ist m.E. eigentlich seine Fehlinterpretation von unendlich vielen Nachkommastellen in der Mathematik.

Denn:

Alni hat folgendes geschrieben:

Und auch wenn man damit nicht leicht umgehen kann ist es dennoch mathematisch betrachtet ein exakter Wert.

So isses. :)

wdbee - So 13.03.05 12:32

delfiphan hat folgendes geschrieben:

Die Axiome nimmt man einfach mal an und geht davon aus, dass diese wahr sind. Aber wenn man nicht davon ausgehen kann, dass die Welt widerspruchsfrei ist, was kann man denn überhaupt machen? Gar nichts. :?

Das ist nicht der Punkt. Es wurde der Beweis erbracht, das nicht bewiesen werden kann, das keine Widersprüche existieren! Wenn keine Widersprüche (Fehler) bekannt sind, heißt das noch lange nicht dass keine Widersprüche existieren. Und als Abfallprodukt wurde bewiesen, dass nicht alle richtigen Aussagen beweisbar sind. Deshalb stimmt es nicht, das in der Mathematik alles auf bewiesenen Sätzen beruht.

delfiphan - So 13.03.05 13:16

wdbee hat folgendes geschrieben:

Deshalb stimmt es nicht, das in der Mathematik alles auf bewiesenen Sätzen beruht.

Da hattest du ja auch recht. Ohne Annahmen kann man keine Folgerungen machen. Den Axiomen muss man einfach glauben.
Ich korrigiere mich also: In der Mathematik gibt es prinzipiell keine "Fehler" wenn man den Axiomen glaubt, und wenn wir von einer widerspruchsfreien Welt ausgehen.
Ich wollte ursprünglich mit dem Satz eigentlich eher sagen, dass es in der Mathematik keine solchen Ungenauigkeiten oder Unklarheiten gibt, wie von Karlson behauptet bzw. in Frage gestellt. Er schliesst von einer "ungenauen Notation" auf einen Fehler in der Mathematik.

zemy - So 13.03.05 13:36

Ist das nicht eigentlich das schöne an Mathe? Das alles wahr ist, da alles von Menschenhand definiert ist und somit gültig? (mein Mathestand: einjährige FachOberschule, also nicht übers differentieren und (eingeschränktes) Integrieren hinaus, habe da also leider nicht wirklich viel Ahnung :( ) Nicht so wie in Physik oder (*schauder*) Chemie, mit den ganzen Ausnahmen und ähnlichem? Die Konstanten in der Physik sind etwas Zahlreicher als die in der Mathematik (Gravitationskonstante, Masse eines Elektrons, Universelle Gaskonstante, ...) Leider richtet sich die Natur nicht danach, was man mathematisch elegant bescheibene kann. Die Mathematik ist eben nur ein Model...

MfG Zemy

Karlson - So 13.03.05 14:10

Hallo Leute,

Ich habe jetzt viel gelesen, aber ich glaube ich habe mich teilweise falsch ausgedrückt. Bitte

Mir gehts eigentlich nur darum: Ein Kreis hat einen Flächeninhalt. Der Flächeninhalt kann schließlich nicht irrational sein.(Ich glaube hier liegt mein fehler?), denn für mich ist eine irrationale Zahl eine nicht eindeutige Zahl. Je weiter man hinters Komma geht, desto genauer mag sie werden, doch man kann sie nie 100% beschreiben, außer mit einem Bruch, wobei ein Bruch ja auch keine Zahl im wirklichen Sinne ist. PI könnte man ja auch als ~ 78,53981634/25 darstellen. Ein Bruch ist ein Term für dessen anzeige als normale Zahl immernoch eine Rechenoperation nötig ist.
Ich gehe jetzt aber davon aus, dass der Flächeninhalt eines Kreises eine rationale Zahl sein muss. Denn ansonsten würde sich sein Flächeninhalt ja verändern (Bewegung der Atome?).

Da PI aber irrational ist, können wir nie den genauen Flächeninhalt ausrechnen. Denn je genauer wir für PI werden, wird sich auch immer sein Flächeninhalt ändern. Und da wir theoretisch PI unendlich lange genauer werden lassen können, werden wir auch unendlich lange einen anderen Wert für den Flächeninhalt rausbekommen. Zwar einen immer genaueren, aber nie den Endwert!

Wo liegt der Fehler meiner annahmen?

wdbee - So 13.03.05 14:14

delfiphan hat folgendes geschrieben:

Ich korrigiere mich also: In der Mathematik gibt es prinzipiell keine "Fehler" wenn man den Axiomen glaubt, und wenn wir von einer widerspruchsfreien Welt ausgehen.

Leider ist die Welt aber nicht widerspruchsfrei. Die Frage Cantors: Gibt es eine unendliche Menge von Zahlen, die größer ist als die Menge aller Brüche, aber kleiner als die Menge der reellen Zahlen, einschließlich der irrationalen Zahlen wie PI? Cohen konnte ausgehend von den selben Axiomen zwei korrekte Beweise liefern, der eine liefert die Antwort JA der andere NEIN! Lit. siehe oben.

DeCodeGuru - So 13.03.05 14:28

Karlson hat folgendes geschrieben:

denn für mich ist eine irrationale Zahl eine nicht eindeutige Zahl.

Hä? Das musst du mal erklären? Pi ist doch eindeutig bestimmt! Nur, weil du die Zahl nicht aufs Papier schreiben kannst und weil sie unendlich viele Nachkommastellen hat, heißt das doch nicht, dass die Zahl nicht eindeutig bestimmt ist. Ebenso ist es mit dem Flächeninhalt: Dieser ist exakt bestimmt, auch wenn du den Flächeninhalt nicht "komplett" aufschreiben kannst. Daher kannst du ja auch für den Flächeninhalt ein Produkt "aus einer Zahl und Pi" schreiben. :wink:

Karlson hat folgendes geschrieben:

Ich gehe jetzt aber davon aus, dass der Flächeninhalt eines Kreises eine rationale Zahl sein muss. Denn ansonsten würde sich sein Flächeninhalt ja verändern (Bewegung der Atome?).

Wieso verändert sich denn dann der Flächeninhalt? Könntest du das irgendwie "besser" umschreiben. Ich - z.B. - kann dein Problem nicht wirklich verstehen. :?

Alni - So 13.03.05 14:43

@Karlson du musst weg von der Vorstellung kommen dass nur Zahlen die sich als endlichen Dezimalbruch darstellen lassen auch eindeutig sind. Wie schon delphifan gesagt hatte sind rationale Zahlen je nach Zahlensystem einmal als endlicher Dezimalbruch darstellbar und in dem anderen System wieder nicht. Pi dagegen ist irrational. Und irrational bedeutet nichts anderes, als dass es in keinem Zahlensystem einen endlichen Bruch (dezimal oder nicht) gibt mit dem sich die Zahl exakt darstellen lässt. Ein endlicher Bruch, sei es 1/3 ist eine absolut exakte Zahl. Die Fläche eines Kreises kann sowohl irrational als auch rational sein. Wichtig ist aber, dass das mathematische Modell des Kreises nichts mit einem real existierenden Objekt zu tun hat oder zu tun haben muss. Es gibt in der Natur keinen exakten Kreis und in der Mathematik spielen einzelne Atome keine Rolle.

Karlson hat folgendes geschrieben:

Denn ansonsten würde sich sein Flächeninhalt ja verändern (Bewegung der Atome?).

Diesen Gedanken kann ich jetzt nicht nachvollziehen

Abgesehen davon Pi ist eine exakte Zahl auch wenn man sie nicht als Bruch darstellen kann.

Nimm als Beispiel die Gleichung : sqr(x)=2 . Diese hat genau 2 Lösungen und beide sind mathematische betrachtet exakt (+-sqrt(2)). Der Mangel an passender Darstellungsformen für irrationale Zahlen macht sie nicht weniger genau. Eine solche Zahl wird erst dann und nur dann ungenau wenn man sie als Bruch schreiben möchte. Du hast also insofern Recht wenn du behauptest die irrationale Fläche eines Kreises lässt sich niemals exakt als dezimalbruch bestimmen.

IngoD7 - So 13.03.05 14:49

@Karlson
Du widerrufst dich irgendwie ständig selber.

Karlson hat folgendes geschrieben:

Da PI aber irrational ist, können wir nie den genauen Flächeninhalt ausrechnen. Denn je genauer wir für PI werden, wird sich auch immer sein Flächeninhalt ändern. Und da wir theoretisch PI unendlich lange genauer werden lassen können, werden wir auch unendlich lange einen anderen Wert für den Flächeninhalt rausbekommen. Zwar einen immer genaueren, aber nie den Endwert!

Korrekt.

Karlson hat folgendes geschrieben:

Ein Kreis hat einen Flächeninhalt. Der Flächeninhalt kann schließlich nicht irrational sein.

Möglicherweise fehlt mir jetzt deine Definition von irrational, doch ich schrieb schon zuvor: Bei einem Kreisradius von 1 cm beträgt seine Fläche Pi cm². Da ist sie dann wieder, die Zahl mit den unendlich vielen Stellen hinter dem Komma. Die Flächenangabe ist dadurch doch sehr wohl irrational, oder nicht?

delfiphan - So 13.03.05 14:58

wdbee hat folgendes geschrieben:

Leider ist die Welt aber nicht widerspruchsfrei

Wenn ein Axiomsystem versagt heisst das bloss, dass das Axiomsystem inkonsistent ist. Du kannst von irgend einer Theorie nicht auf unsere Welt schliessen! Ich hab angenommen, dass die Welt widerspruchsfrei ist. Das ist eine philosophische Annahme.
(Zu Gödel und Cohen. Ich hab soeben nachgeschaut: Man kann mit den üblichen Axiomen weder beweisen noch widerlegen dass es eine Teilmenge von R gibt, die mehr Elemente hat als N aber weniger als R selbst.)
Vielleicht verschieben wir das Topic auf PM, wenn wir weiterdiskutieren wollen.

Gausi - So 13.03.05 15:13

Ich finde diese Diskussion mit der Fläche eines Kreises und der Irrationalität von Pi(*) auch noch aus anderer Sicht sehr schön: Sie zeigt uns unsere Grenzen:

Wir können mit der Mathematik und unserem Verstand so viele Dinge erreichen. Wir können Flugzeuge bauen, ja sogar ins Weltall fliegen. Wir können Informationen in Sekundenbruchteilen um die ganze Welt schicken, und mit Leuten reden, die am anderen Ende der Welt sitzen und und und.
Aber ein Problem, das wir nicht wirklich lösen können, ist die ganz einfache Aufgabe, den Flächeninhalt eines Kreises anzugeben, der einen Radius von 1 hat (Einheit ist egal, m, km, inch, elle,...). Alles was uns mit unserer ach so überragenden Mathematik übrigbleibt ist, dafür ein neues Symbol einzuführen. Und dann zu behaupten, der Flächeninhalt dieses Kreises mit Radius 1 sind diese zwei kleinen senkrechten Striche mit nem Dach drüber.

Bei sowas kommt dann IMO die philosophische, fast religiöse Seite der Mathematik zum Vorschein.

btw.: Was ich auch recht interessant finde, ist die Argumentation von Archimedes(?), warum selbst der schnellste Läufer der Welt keine Schildkröte einholen kann, wenn sie nur 10 Meter Vorsprung hat. Hat auch direkt mit "unendlichen Zahlen" zu tun...

(*) Ich kann das hier nicht beweisen, aber Pi ist nicht nur irrational, sondern sogar tranzendent über den rationalen Zahlen. D.h. es gibt kein Polynom (a*x^n + b*x^(n-1) + ...) mit rationalen Koeffizienten, so dass Pi eine Nullstelle des Polynoms ist. Sqrt(2) ist nicht rational, aber nicht tranzendent, denn Sqrt ist eine Nullstelle von p(x)=x^2-2

delfiphan - So 13.03.05 15:48

Gausi hat folgendes geschrieben:

Aber ein Problem, das wir nicht wirklich lösen können, ist die ganz einfache Aufgabe, den Flächeninhalt eines Kreises anzugeben, der einen Radius von 1 hat (Einheit ist egal, m, km, inch, elle,...).

Es handelt sich hier nicht um ein unlösbares Problem! Ich definiere dir gleich eine Einheit, die das kann: Die delfiphansche Pi-Einheiten! Gib alles in Pi-Einheiten an, dann geht's doch. Dass es im Dezimalsystem nicht geht, ist halt einfach Pech!

Um zu Karlson zurückzukommen:
Das mathematische Pi ist genau definiert, wie eigentlich alle hier behaupten. Das "Pi im Computer" aber ist auf so und so viele Stellen gerundet. Wenn du einen Einheitskreis hast, stimmt es, dass man die Fläche nicht exakt in einem Float speichern kann; und wenn man anstatt Single precision Double precision nimmt, ist das ganze besser. Wenn man aber von Pi spricht ist das eine ganz bestimmte Zahl, sie verändert sich nicht und sie ist keine Näherung von etwas anderem.

Karlson hat folgendes geschrieben:

Der Flächeninhalt kann schließlich nicht irrational sein

Du stellst dir vielleicht einen Flächeninhalt vor und siehst dabei Atome vor dir. Du denkst vielleicht deswegen, dass ein Flächeninhalt nicht irrational sein kann. Die Mathematik ist aber viel mächtiger: Du kannst einen Kreis definieren, dessen Flächeninhalt irrational ist. Einen solchen Kreis kannst du dir in der realen Welt nicht basteln (ganz abgesehen davon wirst du überhaupt keinen Kreis jemals exakt zeichnen können).

Karlson hat folgendes geschrieben:

denn für mich ist eine irrationale Zahl eine nicht eindeutige Zahl. Je weiter man hinters Komma geht, desto genauer mag sie werden

Ich kanns nur wiederholen: Eine irrationale Zahl ist eindeutig. Man kann sie aber mit Kommastellen nicht exakt auf ein Blatt schreiben. Du siehst das ganze zu praktisch...

Karlson hat folgendes geschrieben:

Ich gehe jetzt aber davon aus, dass der Flächeninhalt eines Kreises eine rationale Zahl sein muss. Denn ansonsten würde sich sein Flächeninhalt ja verändern (Bewegung der Atome?).

Es bewegt sich überhaupt nie was. Wenn der Flächeninhalt des Einheitskreises Pi ist, dann ist er exakt Pi. Der Flächeninhalt ist nur ungefähr 3.14, ungefähr 3.141 und ungefähr 3.1415. Aber exakt Pi.

Karlson hat folgendes geschrieben:

Da PI aber irrational ist, können wir nie den genauen Flächeninhalt ausrechnen

Du kannst Pi nicht exakt in einem Float abspeichern, korrekt. Ist aber der Radius eines Kreises theoretisch 1/sqrt(pi), dann ist der Flächeninhalt exakt 1. Das kann man dann sehr wohl auf ein Blatt schreiben (ich habs soeben getan ;)).

Karlson hat folgendes geschrieben:

Und da wir theoretisch PI unendlich lange genauer werden lassen können

Wie gesagt muss du dich von der Vorstellung lösen, dass da etwas "immer genauer" wird. Pi ist fest und man kann sich der Zahl nähern aber wenn man sagt, dass etwas Pi ist, dann ist es eben Pi.

delfiphan - So 13.03.05 17:23

@Gausi:
Ich wollte dich bloss kontern. Du hast nämlich gesagt die Einheit sei egal, also darf ich auch einen irrationalen Umrechnungsfaktor haben. Dass ich das jetzt plötzlich nicht mehr darf, scheint mir merkwürdig. Übrigens: Dass man pi in keinem Zahlensystem exakt darstellen kann, das steht schon in meinem ersten Post drin.
PS: "1" auch nur ein Symbol. Es ist das Symbol für das neutrale Element der Multiplikation. Und die Zahl 1/5 kannst du auch nur indirekt angeben, nämlich "0,2". Glück gehabt, dass man das mit dieser willkürlichen Schreibweise überhaupt kann!
Gruss

delfiphan - Mo 14.03.05 15:57

Die Definition von irrational ist unabhängig vom Zahlensystem. In jedem Zahlensystem ergibt Pi unendlich viele Nachkommastellen. Das Problem ist folgendes. Stell dir die Zahlengerade vor:

Quelltext

1:
2:

<---|-----|-----|-----|-----|--->
    0     1     2     3     4

Ganze Zahlen kannst du durch eine einzige Zahl darstellen, ohne Nachkommastellen. Z.B. -1, 0, 1, 2, 3.
Um eine beliebige rationale Zahl angeben zu können brauchst du i.a. hingegen schon 2 ganze Zahlen. z.B. 2/3, 4/5.

Mit den rationalen Zahlen erreichst du fast alle Zahlen auf der Zahlengerade. Aber nicht alle, denn mit bloss 2 ganzen Zahlen kannst du nicht eine ganze, kontinuierliche Zahlengerade abdecken. Wieso? Es gibt abzählbar unendlich viele ganze Zahlen, und auch abzählbar unendlich viele rationale Zahlen (abzählbar heisst, dass du die Zahlen ordnen und durchnummerieren könntest).
Bei einer kontinuierlichen Gerade geht das aber nicht: Die Menge der irrationalen Zahlen ist nicht abzählbar (sie ist "überabzählbar"). Du kannst die Punkte auf einer Geraden nicht durchnummerieren! Da hast du keine Chance. Es gibt viel, viel, viel mehr irrationale Zahlen als rationale Zahlen! Du kannst deshalb eine irrational i.a. nicht durch 1 oder 2 ganzen Zahlen angeben, sondern da brauchst du unendlich viele!
Pi ist so eine irrationale Zahl. Wenn du die "Koordinate" von Pi auf der Zahlengeraden mit ganzen Zahlen angeben willst, brauchst du unendlich viele davon. Da kommst du nicht drum herum.
Da man also wie gesagt Pi durch die üblichen Symbole "1", "2", "3", usw. nicht vollständig bzw. exakt angeben kann, führt man eben einfach ein neues Symbol ein: Pi.

Gausi - Mo 14.03.05 16:17

delfiphan hat folgendes geschrieben:

Mit den rationalen Zahlen erreichst du fast alle Zahlen auf der Zahlengerade.

Wenn wir hier schon mit Begriffen wie abzählbar und überabzahlbar um uns schmeißen, dann ist diese Aussage falsch oder zumindest verwirrend. "Fast alle" bedeutet in aller Regel "alle bis auf endlich viele". Es gibt aber unendlich viele relle Zahlen, die nicht rational sind. Sogar überabzählbar viele.

PhilGo hat folgendes geschrieben:

Sorry Leute,
aber ich frage mich warum ihr nicht besseres zu tun habt, als sich über irgendwelche Zahlen den Kopf zu zerbrechen. Das mit Pi is doch wurscht, wir leben doch so schon immer...

Natürlich ist das gewissermaßen wurscht. Aber was glaubst du wohl, wieviele alltägliche Dinge darauf beruhen, dass irgendwelche bekloppten Mathematiker über Zahlen und Formeln gegrübelt haben? Weisst du eigentlich, was für ein Haufen Mathematik dahinter steckt, wenn bei Hipp Babynahrung konserviert wird? Ich hab da mal nen Vortag gehört, und nach 5 Minuten bin ich gedanklich ausgestiegen.

Gausi - Mo 14.03.05 16:42

ja, ich habs ja auch nur erwähnt, weil du andere Begriffe in dem Zusammenhang gebracht hast, die durchaus mathematisch sind. Nicht jedem dürfte z.B. klar sein, dass es unterschiedliche Varianten von "unendlich viel" gibt.
Es ist z.B. auch so, dass es genau soviele rationale Zahlen gibt (Brüche), wie natürliche Zahlen (1,2,3,4,5,...). Aber es gibt mehr reelle Zahlen. Obwohl es von allen 3 Zahlenarten unendlich viele gibt, und es anschaulich mehr Bruchzahlen als ganze Zahlen gibt, haben zwei davon gleich viele Elemente, und die dritte mehr als die beiden zusammen :eyecrazy:

Edmund Jenner-Braunschmie - Mo 14.03.05 19:23

Danke DeCodeGuru,

endlich kommt jemand zum Punkt:

eine irrationale Zahl ist eh eindeutig, sie hat halt nur unendlich viele Kommastellen aber deswegen ist sie ja keine Schätzung ?!!

Also: Um sich den Schreibaufwand zu ersparen, schreibt man einfach 'Pi' und nicht die Zahl (weil's eh nicht geht)!

der genaue Flächeninhalt eines Kreises mit Radius=2 cm entspricht ganz genau 4*Pi cm ... und das ist eine EINDEUTIGE Zahl !!!!!!!

und will man dies als Zahl schreiben muss man auf die benötigte Genauigkeit runden.

und 9.99999999999999999999999.... periodisch ist genau gleich 10, da der Unterschied logischerweise unendlich klein, also 0, ist !!!!

liebe Grüße Edi

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