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Off Topic - x^0 = 1
r4id3n - Fr 14.10.05 20:49
Ich kann als Informatikstudent meinem Vorredner nur zustimmen... x^0 ist per definition 1 (und ich hatte in höhere Mathematik ne 2 ;-))!
Kroni - Fr 14.10.05 21:29
Genausowas wie mit 0! = 1 ^^
Wenn das also wie oben schon gesagt nicht 1 wäre, also z.B: 9456123132^0=1, dann wäre die ganze Argumentation, die ganze Festlegung fürn Eimer....
Das ist einfach so festgelegt....
alzaimar - Fr 14.10.05 21:31
Nee, das ist nicht so definiert, sondern das ist so ausgerechnet, bewiesen, mit vollständiger Induktion. q.e.d.
Kroni - Fr 14.10.05 21:40
Hmmm dsa wäre aber logisch auch dünn****^^ wenn 0! nicht eins wäre....
Nun ja.....Vollständige Induktion....
Wer mag mir beweisen, dass
3^n>=3n ist?^^
(Habs selber erst letzte Tage noch gemacht)
oder die eine beduetende Ungleichung von Bernoulli....^^ die ham wa auch bewiesen....ich finds lustig...löl aba sry wegen offtopic
PS Wenn sich wer fragt, was heißt q.e.d?
Qoud erat demonstrandum^^
Ist latein und ist so sinngemäß, es ist bewiesen^^
GTA-Place - Fr 14.10.05 21:56
Unser Lehrer hat gesagt, dass 'q.e.d' = 'wie zu beweisen war' heißt.
Kroni - Fr 14.10.05 22:24
Das ist wie gesagt das mit dem qoud erat demonstrandum....
das ist n Gerundium oda so...hab im Latinum nur ne 4+, also muss ich das nimmer übersetzten können löl
Jaja, wenns dann bewiesen ist, setzte n q.e.d. drunter und jeder weiß, dass der Schmutz bewiesen ist!
Amateur - Fr 14.10.05 22:58
@ kroni: 3^n kann nicht 3n sein außer du setzt für n nur bestimmt zahlen ein. nimm n=4 dann kriegste 81=12 und das ist mathematisch nicht korrekt. man kann das also nicht beweisen weils nicht geht außer du gibts für das n was bestimmtes an. sieht zum beispiel beide seiten als einzelne funktionen.zum beispiel ne gegen 1 konvergierende grundfolge. dann wäre der lim von n gegen unedlich von f(xn) bei beidem 2 und würde existieren. sowas kann man beweisen. aber ansonsten will ich den beweis sehn den du mir bringst um das zu beweisen.
edit: das >= zeichen war im letzten post nicht da oder ich habs überlesen dann tuts mir leid. 3^n>=3n stimmt.
wohingegen man 6^0 schon beweisen kann ich habs nur vergessen wies geht. aber ich glaub net dass man das einfach ma so definiert hat. ok sgn(0) wurde auch einfach definiert obwohls net ginge aber trotzdem... für den exponent 0 gibts nen beweis...
http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=5252&forum=3
ich hab in nem mathe forum einen beweis gefunden dass 6^0=1 keine definitionsfrage ist.
ich zitiere hier mal Martin_Infinite:
| Zitat: |
Also wir haben a^0=1 (a¹0)bewiesen,
aber letztlich war es auch kein Beweis,
weil wie das Gesetz a^b*a^c=a^(b+c) angewendet hatten, aber dieses
nur anschaulich mit Exponenten >1 beweisen hatten:
a^b*a^c=a*a*a*...*a(b Faktoren) * a*a*a*...*a (c Faktoren)
=a^(b+c)
Aber dann haben wir 0 als Exponenten genommen!
a^0*a^0=a^(0+0)=a^0
a^0*a^0=a^0 |/a^0
a^0=1
|
ich denk es ist logisch dass man das potenzgesetz anwendet und dann damit auf die divison (a^0)/(a^0) kommt was sich kürzt und dann bleibt die 1 vor beidem stehn und 1/1 ist 1. Potenzgesetze angewendet die man auch wieder beweisen kann was er vorher gemacht hat.
ist natürlich immer eine definitionsfrage. denn irgendwer muss ja definiert haben dass 1+1=2 ist und dass 1*2=2 und damit auch 1*a=a. das sind die grundlegenden dinge die man natürlich irgendwann im laufe der geschichte definiert hat. man kann nicht beweisen dass 1+1=2 ist, es wurde festgelegt. aber potenzgesetze kann mna beweisen und damit auch a^0=1. trotzdem musste ja definiert werden dass a*a=a^2 ist. damit basiert auch dies wieder auf einer defintion.
oder wie sehen das die anderen?
wer hat definiert dass die bestimte schallwellen für uns den ton ergeben den wir als i definierten, die engländer aber als e? das ganze leben, unsere wahrnehmung ist eine definiton und interpretation. was wäre wenn unsere nerven genau verkehrtrum angeordnet wären? würden wir dann anstatt hohen tönen tiefe töne wahrnehmen?
in wie weit sind das definitionen? ich will jetzt nicht vom thema abschweifen, ich find nur diese frage sollte man sich stellen bevor man was beweist. und wenn man diese grunddefinitionen akzeptiert kann man auch dinge beweisen wie a^0=1.
thx amateur
ps: dieser thread wurde auf meinen wunsch aufgemacht da ich diesen beweis, der viell verständlicher ist, noch posten wollte und das im letzten thread nicht möglich war.
Christian S. - Sa 15.10.05 14:13
Ich finde alzaimars Lösung irgendwie sehr viel eleganter.
zu Definitionen: Irgendwie endet es immer dort. Solange man sich bei den Ergebnissen, die man erhält, der Definitionen bewusst ist und welche Beschränkungen sie den Lösungen auferlegen, bleibt ja alles konsistent.
Amateur - Sa 15.10.05 14:22
dann erklär mir die lösung von alzaimar mal. ich versteht es net. ok die definition von x^n als x*(x^(n-1)) ist klar aber wieso muss wenn x^1 x gibt x^0 1 geben
edit. ok habs verstanden.
Born-to-Frag - Sa 15.10.05 17:51
Das ich mit einer kleinen Frage so eine große Diskussion auslöse ist schon irgendwie lustig :D
greetz
Kroni - Sa 15.10.05 19:07
| Zitat: |
| @ kroni: 3^n kann nicht 3n sein außer du setzt für n nur bestimmt zahlen ein. nimm n=4 dann kriegste 81=12 und das ist mathematisch nicht korrekt. man kann das also nicht beweisen weils nicht geht außer du gibts für das n was bestimmtes an. sieht zum beispiel beide seiten als einzelne funktionen.zum beispiel ne gegen 1 konvergierende grundfolge. dann wäre der lim von n gegen unedlich von f(xn) bei beidem 2 und würde existieren. sowas kann man beweisen. aber ansonsten will ich den beweis sehn den du mir bringst um das zu beweisen. |
Also ich hatte doch geschrieben
3^n>=3n
wie ich grad auch in deinem Beitrag gelesen habe...aber torztdem mal die vollständige Induktion^^
____________________________________________________________________________________
I Induktions Anfang
Wir zeigen, dass die Behauptung für ein gewissesn n element aus N gilt:
3^1>=3*1 (w)
II Induktions Schritt
Wir nehmen an, die Behauptung sei schon für ein gewisses n element aus N bewiesen (d.h. es gelte 3^n>=3n).
Wir zeigen, dass die Behauptung dann auch für n+1 gilt (d.h. wir zeigen: 3^(n+1)>=3*(n+1)=3n+3))
Sie n element aus N beliebig, dann gilt:
3^(n+1)=3^n*3 >= 3n*3=3n+3n+3n >=3n+3 q.e.d
_____________________________________________________________________________________
So, das wäre also bewiesen^^
Sonst noch ne lustige Aufgabe?^^
GTA-Place - Sa 15.10.05 19:09
Er hat doch seinen Beitrag editiert.
| Zitat: |
| edit: das >= zeichen war im letzten post nicht da oder ich habs überlesen dann tuts mir leid. 3^n>=3n stimmt. |
Amateur - Sa 15.10.05 19:19
ja ok induktion hatte ich bisher noch nicht aber ich glaub es verstanden zu haben. dann hab ich das > zeichen wohl überlesen... sry.
na gut und x^0 kann man wohl auf mehrere arten beweisen...
Kroni - Sa 15.10.05 19:23
Na ja also...mir wurde dort oben ja gesagt, dass das nicht so festgelegt sei....
aber ich meine....das so zb wie Alstar gemacht hat....
wenn das eine dann so und so ist, dann folgt draus, dass x^0=1 sein MUSS sonst würden alle Potenzregeln nicht gelten können....bzw sie wären in sich nicht schlüssig^^
Amateur - Sa 15.10.05 20:34
da die potenzregeln ja stimmen müssen sie wurden bewiesen wie in dem zitat in meinem obigen post zu lesen ist muss x^0 1 sein wie in meinem und alzaimars post zu lesen ist...
x^0=1 folgt aus dem beweis der potenzregeln.... das hat nix mit der schlüssigkeit der potenzregeln zu tun. genauso gut kannste sagen 1+3 muss 4 sein da 2+2 4 ergibt...
delfiphan - So 16.10.05 14:32
x^0 ist nicht einfach so 1. Das kann man nicht für alle x beweisen. Also, bitte korrekte Beweise oder gar keine.
Das Spielchen funktioniert also nur für x <> 0. Würde auch keinen Sinn machen, denn:
lim(0^x, x->0+) = 0, denn 0^x=0 für alle x>0
lim(x^0, x->0) = 1, denn x^0=1 für alle x<>0. Für x<>0 lässt sich das natürlich beweisen. z.B. nach alzaimar, einfach ohne Division durch Null bitte ;)
Die ganze Diskussion hatten wir im Übrigen auch schon.
Amateur - So 16.10.05 14:42
ach verdammt... ok dann muss man es halt einschränken... x^0=1 für x element R\{0}
ist das nun korrekt??
Amateur - So 16.10.05 14:59
also doch 0^0=1... ich denk mal das ist ne sache wie man argumentiert...denn man kann das immer so umformen dass man kürzen kann und schon ist man wieder da wo man angefangen hat... aber ich finds nen spannendes thema...
delfiphan - So 16.10.05 15:19
Es mag so sein, dass man oft 0^0 = 1 setzt, jedoch lässt es sich nicht beweisen.
Die "Hoch-Funktion" a^b lässt sich nämlich ganz beliebig definieren, da sind keine Grenzen gesetzt. In der Mathematik werden oft verschiedene Definition der gleichen Notation genutzt. Es wäre also falsch zu glauben, 0^0=1, weil das einfach so sei.
Da man die Funktion a^b aber nur ungerne für gewisse Werte undefiniert lassen will, definiert man sie oft einfach 1, denn x^0 ergibt beweisbar 1 für alle Werte x <> 0. Das ist sehr naheliegend. -- Geradesogut hätte man sie aber 0 definieren können, denn 0^x ergibt 0 für alle positiven Zahlen. Der Grund dieses Unterschieds ist auf die Unstetigkeit der Funktion a^b im Ursprung zurückzuführen. Je nach dem, "von welcher Seite" man herkommt, gibt's einen anderen Wert.
Fazit: Bevor man mathematisch zu tief geht, sollte man die Definition von a^b klären. Auf der genannten Seite wird 0^0 als 1 definiert. Sie lässt sich aber von keiner Potenzregel herleiten.
Wenn man z.B. a^b als exp(b*log(a)) definiert, so wäre zu klären, was mit nicht-positiven a's zu tun wäre. Sonst bleibt es einfach nicht definiert.
Ich hoffe das reicht als Antwort.
PS zum nachfolgenden Post: Du kannst zwar den Limes von x^x mit x->0 bilden, dabei beweist du aber nicht, was 0^0 ist sondern eben nur den Limes von x^x mit x->0. Du könntest auch 0^x mit x->0 berechnen, dann wirst du aber merken, dass der Limes 0 ist. Wie gesagt, die Funktion f(a,b)=a^b ist bei (0,0) unstetig und je nach dem von "welcher Seite" du her kommst, wirst du einen Sprung sehen.
DeCodeGuru - So 16.10.05 15:54
Hm... Ich habe mal versucht 0^0 zu beweisen, wobei ich den Grenzwert für x gegen 0+ von x^x berechnet habe. Ich habe mal meinen Versuch angehängt. :?
Amateur - So 16.10.05 16:13
ich weiß net... sieht irgendwie net so doll aus... wie du den exponent berechnest. wieso setzt du lnx/(1/x) auf einmal (1/x)/(-1/x^2)? bei dem schritt seh ich nicht mehr durch. der rest sieht eigentlich ganz gut aus...
Horst_H - So 16.10.05 16:14
Hallo,
ich habe mal gelernt, dass 0^0= 0 per Definition ist.
Ich habe mich auch darueber geaegert, denn
a^0= a^(d-d)= a^d*a^(-d)=a^d/a^d= 1
und statt die Defintionslücke gnädig zu füllen, wird dort ein Sprung definiert.
Nunja es wird wohl seinen Sinn bei anderen Beweisen haben.
Gruss Horst
hallo - So 16.10.05 16:48
Es ist einfach logischer:
| Zitat: |
3 * 10^5 = 300000
3 * 10^4 = 30000
3 * 10^3 = 3000
3 * 10^2 = 300
3 * 10^1 = 30
3 * 10^0 = 3
3 * 10^-1 = 0,3
3 * 10^-2 = 0,03
3 * 10^-3 = 0,003
|
Kroni - So 16.10.05 22:06
Also leute....wir nehmen doch einfach mal an, dass die Potenzregeln bewiesen sind....und wenn die Potenzregen stimmen, dann muss auch für z.B. 6^0 1 das Ergebniss sein....
das meinte ich damit, dass sonst die Potenzregeln nicht stimmen würden usw....;-)
Man kann es vornerum, hintenrum usw beweisen löl^^
MiChri - Mo 17.10.05 10:31
Moin
Ich wollte nur anmerken, dass ihr ja nicht nur über die Potenzregeln diskutiert, sondern über Gruppentheorie.
Der ^ Operator ist als nichts anderes definiert als das hintereinander ausführen von Verknüpfungen. Ist ~ eine Verknüpfung so ist a^n über ~ = (a^n-1)~n (f.a. n el. Z). Dabei ist ^1 immer die Identität also a^1 = a (für alle Gruppen ~). Daraus folgt natürlich sofort das a^0 das neutrale Element ist den a^0=a^(-1)~a also das Inverse Verknüpft mit a. Das ganze gilt auch für die Multiplikation, die das Nacheinanderausführen der + Verknüpfung darstellt. Also a*1=a und a*0=0=> das Neutrale der Addition.
Viel Spaß damit :wink:
Gruß Christian
AXMD - Mo 17.10.05 11:41
 Horst_H hat folgendes geschrieben: |
| ich habe mal gelernt, dass 0^0= 0 per Definition ist. |
Gelinde gesagt: Schwachsinn. 0^0 ist eine sogenannte unbestimmte Form und kann daher nur mittels Limesrechnung gelöst werden. Ebenso unbestimmte Formen sind 0^inf, inf^0, inf-inf, 0/0. Beispiel:
Quelltext
1:
| lim x->0 sin(x)/x = "0/0" (unbest. Form) => De l'Hospital |
Quelltext
1:
| = lim x->0 cos(x)/1 = 1/1 = 1 |
AXMD
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