Entwickler-Ecke
Sonstiges (Delphi) - Mathematisches Problem mit Nullstellenberechnung
VirusX - Sa 08.03.03 16:24
Titel: Mathematisches Problem mit Nullstellenberechnung
Ich möchte ein einfaches Programm schreiben, oder besser gesagt, bin gerade dabei eins zu schreiben, dass mir von einer mathematischen Funktion
f(x) =a 5*x^5 + a4*x^4 + a3*x^3 + a2*x^2 + a1*x + ao
die Nullstellen berechnet.
Nur leider bekomm ich das ganze nicht zum Laufen.
Wenn jemand schon ein solches Programm hat oder mir (über ICQ) bei meinem Programm helfen kann (Sourcecode wird gesendet!), wäre ich sehr dankbar!
Popov - Sa 08.03.03 16:30
Guck dir mal Power an.
UGrohne - Sa 08.03.03 17:06
Ich hatte da mal was, das lief über Matrizen, ich suchs grad mal raus. Hoffe, ich hab die CD net weggeworfen :cry:
War damals net einfach, das Teil zu schreiben... habs aus nem Buch raus
Gruß
VirusX - Sa 08.03.03 17:33
Was ist "power"?
Also allzu kompliziert sollts auch nicht sein. Aber trotzdem danke für die Bemühung!
Popov - Sa 08.03.03 17:44
Einfach Delphihilfe aufrufen und Power eingeben und schon hat man die Antwort.
x^2
ist in Delphi
Power(x, 2)
VirusX - Sa 08.03.03 18:55
Das Problem ist nicht das x^2, das bekomm ich auch mit x*x hin, sondern dass mir von der Funktion die Nullstellen nicht ausgegeben werden, in der Endausgabe. Das bekomm ich nicht hin.
Popov - Sa 08.03.03 19:07
Also ist das kein Programmtechnisches Problem, sondern nur ein Mathematisches. Wieso stellst du dann die Frage in einem Delphiforum?
Delphianer23 - Sa 08.03.03 19:11
und die Variable a ist wohl nicht bei jeder potenz die gleiche also eher:(wenn es eineallgemeine Formel sein soll)
f(x) =a 5*x^5 + b4*x^4 + c3*x^3 + d2*x^2 + ex + f
......................................................................................
Zumindest ich kann da rein Mahtematisch nichts machen, höchstens ausprobieren, ob eine gerade Zahl passt und dann mit dem Ergebnis Polynomdivision durchführen.(Bei uns in der Schule würde ichs so machen)
Mit dem Computer gibt es doch noch andere Möglichkeiten:
..............................................................
Man könnte z.B Für Zahlen von
-3000 bis +3000 druchlaufen lassen, dafür immer den y Wert ermitteln zwischen denen Zahlen wo es dann zwischen einem - Ergebnnis und einem Plusergebnis wecheslt nochmal.
z.B
für 2344 ERgebnis = +2.325424
für 2345 ergebnis =-1.2323
Das bedeutet, dass dazwishcen eine Nullstelle sein muss. Dein ERgenis ist also zwischen 2344 und 2345. Das ist zu ungenau, also weiter ...
Nun weiter (Bereich zwischen den Zahlen aufteilen, um genaueren WErt zu erhalten):
Quelltext
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| for zähler:= 0 to 6000 do
beign
{2344+ ((2345-2344)/6000)* Zähler }
Dieses Ergebnis wieder in die Funktion einsetzen und
Werte ermitteln
end; |
dafür kommen nun wieder 6000 Ergebnisst raus, dort wo es dann zwischen - und + Wechselt, die FUnktion zwischen den beiden neuen Zahlen wieder durchführen. Dieses Prozess beliebig wiederholen bis die gewünschte Genauigkeit erreicht ist.
Nachtiel: Bei sehr kleinen SChwankungen um die x Achse könnten beim ersten Schritt einige Ergebnisse verloren gehen. Dann muss man es halt genauer machen. Dies bedeutet kleinere Zahlenabstände wählen.
Auf diesem Weg müsstest du es doch hinkriegen oder?
Moderiert von 
Tino: Absätze entfernt & Code-Tags hinzugefügt.
VirusX - Sa 08.03.03 20:04
| Popov hat folgendes geschrieben: |
| Also ist das kein Programmtechnisches Problem, sondern nur ein Mathematisches. Wieso stellst du dann die Frage in einem Delphiforum? |
Natürlich ist es ein Problem mit Delphi. Soweit kenn ich mich dann doch aus...
Danke für deine Hilfe, blutiges Elend. Hier geb ich euch mal den Quelltext. Da ist noch irgendwo ein Fehler drin, den ich nicht rausbekomm...
Quelltext
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| procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);
var a1,a2,a3,a4,a5,ao,fa,fb,fm,m:single;
a,b,e:single;
label
Wiederholung, Ende, Ausgabe;
begin
ao:=StrToFloat(Edit1.Text);
a1:=StrToFloat(Edit2.Text);
a2:=StrToFloat(Edit3.Text);
a3:=StrToFloat(Edit4.Text);
a4:=StrToFloat(Edit5.Text);
a5:=StrToFloat(Edit6.Text);
a:=spinedit1.value ;
b:=spinedit2.value;
e:=StrToFloat(Edit10.Text);
fa:=(a5*a*a*a*a*a)+(a4*a*a*a*a)+(a3*a*a*a)+(a2*a*a)+(a1*a)+ao;
fb:=(a5*b*b*b*b*b)+(a4*b*b*b*b)+(a3*b*b*b)+(a2*b*b)+(a1*b)+ao;
if fa*fb>0 then
begin
label10.Caption:='Falsches Intervall'
end else
Wiederholung:
m:=(a+b)/2;
fm:=a5*m*m*m*m*m+a4*m*m*m*m+a3*m*m*m+a2*m*m+a1*m+ao;
if fa*fm<=0 then
b:=m ;
goto Ende;
a:=m;
Ende:
fm:=a5*m*m*m*m*m+a4*m*m*m*m+a3*m*m*m+a2*m*m+a1*m+ao;
if fm *fm<=e*e then
goto Ausgabe
else
goto Wiederholung;
Ausgabe:
Edit6.Text:=FloatToStr(m);
end;
procedure TForm1.SpinEdit1Change(Sender: TObject);
var a,fa,a1,a2,a3,a4,a5,ao:single;
begin
a:=spinedit1.value ;
ao:=StrToFloat(Edit1.Text);
a1:=StrToFloat(Edit2.Text);
a2:=StrToFloat(Edit3.Text);
a3:=StrToFloat(Edit4.Text);
a4:=StrToFloat(Edit5.Text);
a5:=StrToFloat(Edit6.Text);
fa:=(a5*a*a*a*a*a)+(a4*a*a*a*a)+(a3*a*a*a)+(a2*a*a)+(a1*a)+ao;
Edit8.Text:=FloatToStr(fa);
end;
procedure TForm1.SpinEdit2Change(Sender: TObject);
var b,fb,a1,a2,a3,a4,a5,ao:single;
begin
b:=spinedit2.value;
ao:=StrToFloat(Edit1.Text);
a1:=StrToFloat(Edit2.Text);
a2:=StrToFloat(Edit3.Text);
a3:=StrToFloat(Edit4.Text);
a4:=StrToFloat(Edit5.Text);
a5:=StrToFloat(Edit6.Text);
fb:=(a5*b*b*b*b*b)+(a4*b*b*b*b)+(a3*b*b*b)+(a2*b*b)+(a1*b)+ao;
Edit9.Text:=FloatToStr(fb);
end;
end. |
Kann mir jemand sagen, wieso das jetzt nicht hinhaut?!
Moderiert von Tino: Code-Tags hinzugefügt.
Popov - Sa 08.03.03 20:25
Ich sehe da ein mathematisches Problem. Irgendwie hab ich das Gefühl, daß du es durch Versuchen probierst. Sowas berechnet man.
Ansonsten sehe ich da so viele Fehler drinn, daß es kaum lohnt den Code zu verbessern. Der Aufwand ist kleiner es neu zu schreiben (und richtig).
Außerdem könnte man es besser lesen wenn du es in Code-Tags eingepackt hättest.
Popov - Sa 08.03.03 20:33
Übrigens ist das ein sehr schönes Beispiel wieso man keine GoTo's benutzen sollte. Man blickt da kaum durch.
VirusX - Sa 08.03.03 21:11
1. Wo siehst du da das mathematische Problem?
2. In dem Beispiel sind ganze 3 goto's, wieso ist das so schwer durchzublicken?
3. Find ich ja toll, dass du's mit sicherheit besser kannst, aber ich eben nicht.
4. Ist das ganze etwa so unübersichtlich wie du's darstellst?!
5. Hat ich eigentlich auf Hilfe gehofft, deine Postings, Popov, haben mir sehr wenig geholfen.
Moderiert von Tino: ICQ-Hinweis entfernt. Antworten nur hier ins Forum. Siehe Richtlinien.
Christian S. - Sa 08.03.03 21:25
Also, das Problem hat mich so interessiert, dass ich es (glaube ich) gelöst habe. Allerdings ist nicht ganz leicht.
Erstmal der Code. Und: ja, er ist eigentlich zu lang zum posten, aber er soll auch künftigen Lesern dieses Thread erhalten bleiben, deswegen kein Download oder so:
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| var
Form1: TForm1;
a : Array[0..5] Of Real;
startpunkt : Array[0..4] OF Real;
nullstelle : ARRAY[0..4] OF Real;
eingabe : Array[0..5] Of TEdit;
max, min : Real;
implementation
{$R *.dfm}
function potenz (basis : Real; exponent : Integer) : Real; //damit wir uns Math sparen können
VAR ergebnis : Real;
begin
if exponent = 1 then result:=basis
else begin
if exponent = 0 then result:=1
else begin
if exponent mod 2 = 0 then
begin
ergebnis:=potenz(basis, exponent div 2);
result:=ergebnis*ergebnis;
end else result:=potenz(basis, exponent-1)*basis;
end;
end;
end;
function f(x : Real) : Real; //Die FUnktion
VAR i : INTEGER;
begin
result:=0;
for i:=0 TO 5 DO
result:=result+a[i]*potenz(x,i);
end;
function diff_f(x : Real) : Real; //1. Ableitung der Funktion
VAR i : INTEGER;
begin
result:=0;
for i:=1 TO 5 DO
result:=result+i*a[i]*potenz(x,i-1);
end;
procedure TForm1.FormCreate(Sender: TObject);
VAR i : INTEGER;
begin
for i:=0 TO 5 DO
begin
eingabe[i]:=TEdit.Create(self);
with eingabe[i] do
begin
Parent:=Form1;
height:=21;
width:=73;
left:=(width+10)*i+10;
top:=8;
name:='eingabe'+IntToStr(i);
text:=IntToStr(i+3);
end;
end;
end;
function nullstelle_berechnen(genauigkeit, start : Real) :Real; //Newton'sches Annäherungsverfahren
VAR x_neu,x_alt : Real;
stop, fehler : Boolean;
begin
x_neu:=start;
stop:=false;
fehler:=false;
while not stop do
begin
x_alt:=x_neu;
x_neu:=x_alt-f(x_alt)/diff_f(x_alt);
if abs(x_neu-x_alt)<=genauigkeit then stop:=true;
if (Abs(max)-Abs(x_neu)<genauigkeit) or (Abs(min)-Abs(x_neu)<genauigkeit) then //noch im Bereich?
begin
stop:=true;
fehler:=true;
end;
end;
if fehler then result:=max+1//Alle nicht verwendeten Felder, mit einem Wert ausserhalb
//des zulässigen Bereichs füllen, damit sie markiert sind.
else result:=x_neu;
end;
procedure nullstellen_finden (genauigkeit : Real);
VAR i: Integer;
begin
for i:=0 to 4 do
if startpunkt[i]<=max then nullstelle[i]:=nullstelle_berechnen(genauigkeit, startpunkt[i])
else nullstelle[i]:=max+1;
end;
procedure startpunkte_finden (schrittweite : Real);
VAR i : INTEGER;
gefunden : Integer;
x_left, alt_x_left : Real;
x_right, alt_x_right : Real;
begin
gefunden:=0;
alt_x_left:=(max+min)/2;
alt_x_right:=(max+min)/2;
schrittweite:=abs(schrittweite);
x_left:=alt_x_left-schrittweite;
x_right:=alt_x_right+schrittweite;
while (gefunden <= 4) and (Abs(max)-Abs(x_right)>(-schrittweite)) and (Abs(min)-Abs(x_left)>(-schrittweite)) do
begin
if Abs(max)-Abs(x_right)>(-schrittweite) then //noch im Bereich?
begin
if f(x_right) = 0 then //direkt schon die Nullstelle gefunden
begin
startpunkt[gefunden]:=x_right;
inc(gefunden);
end;
if (f(x_right)>0) and (f(alt_x_right)<0) then //Vorzeichenwechsel
begin
startpunkt[gefunden]:=(x_right+alt_x_right)/2;
inc(gefunden);
end;
if (f(x_right)<0) and (f(alt_x_right)>0) then //Vorzeichenwechsel
begin
startpunkt[gefunden]:=(x_right+alt_x_right)/2;
inc(gefunden);
end;
alt_x_right:=x_right;
x_right:=x_right+schrittweite;
end;
if Abs(min)-Abs(x_left)>(-schrittweite) then //noch im Bereich?
begin
if f(x_left) = 0 then //direkt schon die Nullstelle gefunden
begin
startpunkt[gefunden]:=x_left;
inc(gefunden);
end else
if (f(x_left)>0) and (f(alt_x_left)<0) then //Vorzeichenwechsel
begin
startpunkt[gefunden]:=(x_left+alt_x_left)/2;
inc(gefunden);
end;
if (f(x_left)<0) and (f(alt_x_left)>0) then //Vorzeichenwechsel
begin
startpunkt[gefunden]:=(x_left+alt_x_left)/2;
inc(gefunden);
end;
alt_x_left:=x_left;
x_left:=x_left-schrittweite;
end;
Application.ProcessMessages;
end;
for i:=gefunden TO 4 DO startpunkt[i]:=max+1; //Alle nicht verwendeten Felder, mit einem Wert ausserhalb
//des zulässigen Bereichs füllen, damit sie markiert sind.
end;
procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);
VAR i : INTEGER;
begin
max:=StrToFLoat(edit1.text); //Der Bereich wird festgelegt, damit das Programm nicht ins Leere laufen kann
min:=StrToFLoat(edit2.text);
if max<min then //Maximum soll größer Minimum sein
begin
max:=min;
min:=StrToFloat(edit1.text);
end;
memo1.Lines.Clear;
for i:=0 TO 5 DO a[i]:=StrToFloat(eingabe[i].Text);
startpunkte_finden(0.001); //Newton'sches Annäherungsverfahren funktioniert nur in der Umgebung der Nullstellen
memo1.lines.add('STARTPUNKTE:');
for i:=0 TO 4 DO
if startpunkt[i]<=max then memo1.lines.add(FloatToStrF(startpunkt[i],ffGeneral,10,10));
nullstellen_finden(0.000001);
memo1.lines.add('NULLSTELLEN:');
for i:=0 TO 4 DO
if nullstelle[i]<=max then memo1.Lines.Add(FloatToStrF(nullstelle[i],ffGeneral,10,10))
end;
procedure TForm1.FormClose(Sender: TObject; var Action: TCloseAction);
VAR i : INTEGER;
begin
for i:=0 TO 5 DO eingabe[i].Free;
end; |
Folgendes wird gemacht: der Benutzer gibt die Koeffizienten ein in der Reihenfolge a0 bis a5. (Ist übrigens gut zu erweitern, für größere Gleichungen, das Programm!) Dann gibt er einen Bereich ein, in dem nach Nullstellen gesucht werden soll. Das ist zur Sicherheit da, damit sich das Programm nicht irgendwie zu Tode sucht.
Dann werden erstmal Startpunkte für das Annäherungsverfahren gesucht. Das muss man machen, da das Newton'sche Annäherungsverfahren nur in der Umgebung der Nullstellen funktioniert. Sonst könnte es divergieren. Das würde aber auch nochmal durch den Bereich abgefangen.
Dann startet das Annäherungsverfahren für jeden der Startpunkte.
Fertig.
Ich habe das Programm noch nicht ausführlich getestet, aber der Ansatz sollte richtig sein.
MfG,
Peter
VirusX - Sa 08.03.03 22:25
Vielen Dank, Peter. Hast recht, ist etwas kompliziert, aber mit der Zeit werd ich schon durchsteigen.
Danke für deine Mühe!
Popov - Sa 08.03.03 22:26
Sorry, aber nicht jeder hat so große Lust wie Peter Lustig.
Der erste Schritt zu Lösung eines Problems ist den Code zu entwirren und alles übersichtlich zu machen. Aber trotz des Hinweises auf Codetags hast du es nicht gemacht und dich lieber beschwert.
Ich habs für dich gemacht. Vielleichts siehst du die Fehler jetzt selbst. Sie springen einem sofort ins Auge. Aber ich weß ja nicht auf was du mit deinen GoTo's hinauswillst.
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| procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);
var
a1,a2,a3,a4,a5,ao,fa,fb,fm,m:single;
a,b,e:single;
label
Wiederholung, Ende, Ausgabe;
begin
ao := StrToFloat(Edit1.Text);
a1 := StrToFloat(Edit2.Text);
a2 := StrToFloat(Edit3.Text);
a3 := StrToFloat(Edit4.Text);
a4 := StrToFloat(Edit5.Text);
a5 := StrToFloat(Edit6.Text);
a := spinedit1.value ;
b := spinedit2.value;
e := StrToFloat(Edit10.Text);
fa := (a5*a*a*a*a*a)+(a4*a*a*a*a)+(a3*a*a*a)+(a2*a*a)+(a1*a)+ao;
fb := (a5*b*b*b*b*b)+(a4*b*b*b*b)+(a3*b*b*b)+(a2*b*b)+(a1*b)+ao;
if fa*fb > 0 then label10.Caption := 'Falsches Intervall' else Wiederholung:
m := (a+b)/2;
fm := (a5*m*m*m*m*m)+(a4*m*m*m*m)+(a3*m*m*m)+(a2*m*m)+(a1*m)+ao;
if fa*fm <= 0 then b := m ;
goto Ende;
a := m;
Ende:
fm := a5*m*m*m*m*m+a4*m*m*m*m+a3*m*m*m+a2*m*m+a1*m+ao;
if fm*fm <= e*e then goto Ausgabe else goto Wiederholung;
Ausgabe:
Edit6.Text := FloatToStr(m);
end;
procedure TForm1.SpinEdit1Change(Sender: TObject);
var
a,fa,a1,a2,a3,a4,a5,ao:single;
begin
a:=spinedit1.value ;
ao:=StrToFloat(Edit1.Text);
a1:=StrToFloat(Edit2.Text);
a2:=StrToFloat(Edit3.Text);
a3:=StrToFloat(Edit4.Text);
a4:=StrToFloat(Edit5.Text);
a5:=StrToFloat(Edit6.Text);
fa := (a5*a*a*a*a*a)+(a4*a*a*a*a)+(a3*a*a*a)+(a2*a*a)+(a1*a)+ao;
Edit8.Text := FloatToStr(fa);
end;
procedure TForm1.SpinEdit2Change(Sender: TObject);
var
b,fb,a1,a2,a3,a4,a5,ao:single;
begin
b:=spinedit2.value;
ao:=StrToFloat(Edit1.Text);
a1:=StrToFloat(Edit2.Text);
a2:=StrToFloat(Edit3.Text);
a3:=StrToFloat(Edit4.Text);
a4:=StrToFloat(Edit5.Text);
a5:=StrToFloat(Edit6.Text);
fb := (a5*b*b*b*b*b)+(a4*b*b*b*b)+(a3*b*b*b)+(a2*b*b)+(a1*b)+ao;
Edit9.Text := FloatToStr(fb);
end; |
Übrigens, wo hast du programmieren gelernt? Auf der Schreibmaschine?
Anscheinend ist für dich
o das gleiche wie
0 (z.B. a1,a2,a3,a4,a5,ao:single). Hat zwar keine Auswirkung auf das Programm, aber sowas (o anstelle von 0) hat man früher auf der Schreibmaschine gemacht.
Mit Power kann man das noch übersichtlicher und fehlerfreier machen:
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| //uses Math;
function Fn(a5,a4,a3,a2,a1,ao,x:single): single;
begin
Result := a5*Power(x,5)+a4*Power(x,4)+a3*Power(x,3)+a2*Power(x,2)+(a1*x)+ao;
end;
procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);
var
a1,a2,a3,a4,a5,ao,fa,fb,fm,m:single;
a,b,e:single;
label
Wiederholung, Ende, Ausgabe;
begin
ao := StrToFloat(Edit1.Text);
a1 := StrToFloat(Edit2.Text);
a2 := StrToFloat(Edit3.Text);
a3 := StrToFloat(Edit4.Text);
a4 := StrToFloat(Edit5.Text);
a5 := StrToFloat(Edit6.Text);
a := spinedit1.value ;
b := spinedit2.value;
e := StrToFloat(Edit10.Text);
fa := Fn(a5,a4,a3,a2,a1,ao,a);
fb := Fn(a5,a4,a3,a2,a1,ao,b);
if fa*fb > 0 then label10.Caption := 'Falsches Intervall' else Wiederholung: //<
m := (a+b)/2;
fm := Fn(a5,a4,a3,a2,a1,ao,m);
if fa*fm <= 0 then b := m ;
goto Ende; //<
a := m;
Ende: //<
fm := Fn(a5,a4,a3,a2,a1,ao,m);
if fm*fm <= e*e then goto Ausgabe else goto Wiederholung;
Ausgabe:
Edit6.Text := FloatToStr(m);
end; |
Christian S. - Sa 08.03.03 22:28
Ach ja, die Gotos, dazu wollte ich auch noch etwas sagen:
Gotos sollte man in Delphi nur dort einsetzen, wo sie die klare Struktur nicht verschleiern, für die Delphi so bekannt ist.
Hier [
http://www.delphi-forum.de/viewtopic.php?t=7005&highlight=goto] findest Du eine längere Diskussion zu dem Thema.
Für Anfänger sollte es heißen: "verwende in Delphi keine Gotos" weil es eine Angewohnheit ist, die man nur mit Erfahrung einsetzen sollte. Sonst kommt man in Teufels Küche.
Für Anfänger: "Gotos sind schlecht", "Gotos sind Spaghetti-Programmierung"
MfG,
Peter
Christian S. - Sa 08.03.03 22:32
| Zitat: |
| Vielen Dank, Peter. Hast recht, ist etwas kompliziert, aber mit der Zeit werd ich schon durchsteigen. |
Denke ich auch. Hoffe, die Lösung funktioniert!
MfG,
Peter
Popov - Sa 08.03.03 22:41
Wie gesagt sind da zu viele Fehler um richtig zu wissen was gemeint ist, aber so könnte man das ohne GoTo machen (wenn ich die Fehler richtig gedeutet habe):
Quelltext
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| procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);
var
a1,a2,a3,a4,a5,ao,fa,fb,fm,m:single;
a,b,e:single;
begin
ao := StrToFloat(Edit1.Text);
a1 := StrToFloat(Edit2.Text);
a2 := StrToFloat(Edit3.Text);
a3 := StrToFloat(Edit4.Text);
a4 := StrToFloat(Edit5.Text);
a5 := StrToFloat(Edit6.Text);
a := spinedit1.value ;
b := spinedit2.value;
e := StrToFloat(Edit10.Text);
fa := Fn(a5,a4,a3,a2,a1,ao,a);
fb := Fn(a5,a4,a3,a2,a1,ao,b);
if fa*fb > 0 then label10.Caption := 'Falsches Intervall' else
repeat
m := (a+b)/2;
fm := Fn(a5,a4,a3,a2,a1,ao,m);
if fa*fm <= 0 then b := m ;
a := m;
fm := Fn(a5,a4,a3,a2,a1,ao,m);
until fm*fm <= e*e;
Edit6.Text := FloatToStr(m);
end; |
Christian S. - Sa 08.03.03 23:10
@VirusX: Das mit dem fa*fb<0 ist 'ne gute Idee. So kann man die Abfrage mit dem Vorzeichenwechsel bei mir auch verkürzen.
MfG,
Peter
Moderiert von Tino: Absatz entfernt da es PN diskutiert wird.
Christian S. - Mo 10.03.03 20:00
So, nachdem wir Tino soviel Arbeit gemacht haben (Sorry!) noch ein produktiver Hinweis:
ich habe das Programm mal weiterentwickelt, so dass jetzt die Nullstellen von Polynomen mit beliebigem Grad berechnet werden können.
Das Ganze steht jetzt in der Open Source-Abteilung
MfG,
Peter
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