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Tony-S - Sa 17.10.09 20:55
Titel: 0,9 Periode = 1?

Hallo Forum ich bin durch Zufall auf eine interessantes Thema gestoßen zu der ich eine Frage hab wie man das beweisen könnte:

Ist 0,9 Periode = 1 und 0,999 ungerundend ungleich 1?

http://de.wikipedia.org/wiki/Eins#Periodischer_Dezimalbruch

Delphi-Quelltext

1:
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3:
4:

Ergebnis  := Zaehler/Nenner   ; (1/3)
PNe.Caption:= FloatToStr(Ergebnis);          
PNe2.Caption:= FloatToStr (Ergebnis*3);
// Ergebnis ist Real :>

Delphi rundet hier ja das is das Problem,
ich hoffe das ist ein Thema von relevanz, ich würd gerne wissen wie man beweist das 0,9 Periode = 1 ist,
danke schonmal

Moderiert von Narses: Delphi-Tags hinzugefügt

Delete - Sa 17.10.09 21:39

Nicht Delphi kann keine Perioden darstellen, sondern der Rechner kann es nicht.

@jfheins:

Quelltext

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2:
3:

10* x = 9,9999999...
minus x
10 * x - x = 9

Müsste da snicht heißen:

Quelltext

1:
2:
3:

10 * x = 9,99999... |-x
(10 * x) - x = 9,99999... - x
10x - x² = 9,99999... - x

Delete - So 18.10.09 00:17

0,9 Periode soll gleich eins sein? Das kann ich nicht glauben:

Quelltext

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0,9 <> 1
0,99 <> 1
0,999 <> 1
0,9999 <> 1
0,99999 <> 1
0,999999 <> 1
0,9999999 <> 1

0,9 Periode nähert sich asymptotisch dem Wert eins, erreicht ihn aber nie.

Gausi - So 18.10.09 08:16

@Luckie:

Quelltext

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4:
5:
6:
7:

0,9 <> 0.9 Periode
0,99 <> 0.9 Periode
0,999 <> 0.9 Periode
0,9999 <> 0.9 Periode
0,99999 <> 0.9 Periode
0,999999 <> 0.9 Periode
0,9999999 <> 0.9 Periode

0.9 Periode IST dieser Grenzwert von dem du sprichst. Und den kann man auch als "1" schreiben.

jfheins - So 18.10.09 09:49

Luckie hat folgendes geschrieben :

@jfheins:

Quelltext

1:
2:
3:

10* x = 9,9999999...
minus x
10 * x - x = 9

Müsste da snicht heißen:

Quelltext

1:
2:
3:

10 * x = 9,99999... |-x
(10 * x) - x = 9,99999... - x
10x - x² = 9,99999... - x

Nein. 10x - x² = (10 - x) * x <> (10 * x) - x
10x - x sind schon 9x (Schlißlich sind 10 Äpfel minus 1 Apfel auch 9 Äpfel)

und da ich x als 0,99999...periode definiert hatte und 9,99999...periode gerade 9 + x folgt x=1 ;)

crncpz - So 18.10.09 10:11

ich weis nicht irgendwie hinkt der Beweis noch etwas.

wenn

         x = 0.9999.....9   (mit n Nachkommastellen)
10 * x = 9.9999....90   (mit n-1 Nachkommastellen)

dann folgt

9 * x =   9.9999....90
            - 0.9999.....9

das ist aber offensichtlich nicht 9 sondern 8.9999...91. selbst wenn n unendlich groß ist. und in einer Rechnung sollte n schon identisch bleiben!

Der oben genannte Beweis ist wohl korrekter

jakobwenzel hat folgendes geschrieben :

Siehe hier: http://qntm.org/?pointnine#sec6

jfheins - So 18.10.09 10:34

0,9999999...periode hat aber unendlich viele Nachkommastellen.
und wenn man das mal 10 nimmt, würde bei einer nicht-periodischen Zahl eine Nachkommastelle wegfallen.

Unendlich minus eins ist aber immer noch unendlich!

also ist 10 * x genau gleich 9,9999999...periode und der nachkommaanteil davon ist exakt 0,9999999...periode

P.S.: Nur weil etwas nicht geht wenn n endlich ist, heißt das nicht dass es unmöglich ist, falls n unendlich wird.
exp(-x) ist auch > 0 für alle endlichen x
lim(exp(-x);x->unendlich) = 0
(das ist ein ist-gleich und kein ungefähr-gleich)

P.P.S: Du kannst nicht die letzte Nachkommastelle betrachten, da diese bei einer periodischen Zahl nicht existiert.

Flamefire - So 18.10.09 11:09

richtig...
denn laut definition oder verständinis von unendlich ist unendlich-1=unendlich ;-)

das ist ja das tolle daran: man kann damit machen was man will...
am ende ist sogar unendlich-unendlich=y; wobei y bel. (also z.b. y=0; y=1; y=unendlich)

macht viel spaß manchmal ;-)

Edit: finde ja den Gegenteil beweis toll:
zu beweisen: 0,999...=1
Annahme: 0,999...<1
Beweis: nach Def. von "<" existiert eine Zahl n aus R+(pos. Zahl) mit 0,999...+n=1
für jede Zahl n gilt aber 0,999...+n>1
-->Widerspruch-->Annahme ist falsch-->0,999...=1
q.e.d.

^^

Yogu - So 18.10.09 12:36

Kennst du den Limes?

Quelltext

1:	a = lim(b->1) b

Schreibt man das, heißt das: "b nähert sich 1 immer weiter an, erreicht es aber nie. a ist gleich dem Limes dieser Annäherung, also der nie erreichte Extremwert."

Jetzt ist es mathematisch möglich, folgendes zu schreiben:

Quelltext

1:	lim(b->1) b = 1

Das braucht man nicht zu beweisen, das ist so. Da der Limes den nie erreichte Extremwert darstellt, und dieser Extremwert eben 1 beträgt, ist a = 1.

Quelltext

1:	0.999999999periode = lim(b->1) b

b nähert sich der 1immer näher an, erreicht sie aber nie. Null komma Periode neun ist der nie erreichte Extremwert von b, also 1.

Ich weiß, ein richtiger Beweis ist das nicht. Aber man sollte im Hinterkopf behalten, dass es grundsätzlich einen Unterschied zwischen "Annäherung" und "Unendlich angenähert" gibt. 0.99999999 ist eine Annäherung an 1, 0.9periode ist unendlich daran angenähert.

Edit: 1, 10 - das ist doch das gleiche :oops:

Jakob_Ullmann - So 18.10.09 12:52

Es ist so. Ein wichtiger Beweis wurde genannt:

Quelltext

1:
2:
3:
4:

0,999... = 3 * 0,33333...
  = 3 * 1/3
  = 3/3
  = 1

Und der zweite: Wenn es ungleich wäre, gäbe es eine Zahl, die dazwischen liegt. Da diese offenbar nicht existiert (und 0,999... als periodische Zahl eine rationale Zahl ist, und zwischen zwei rationalen Zahlen liegt immer auch eine dritte), müssen beide Zahlen gleich sein. (EDIT: Sehe gerade, dass das schon von user profile icon

Flamefire genannt wurde)

@Yogu: Zuerst einmal geht es um 0.999... und 1, oder 9.999... und 10. :wink:
Und zweitens, wenn wir das nehmen (dementsprechend abgewandelt):

Zitat:

Quelltext

1:	0.999999999periode = lim(b->1) b

Geht daraus sehr wohl hervor, dass 0.999periode = 1, denn lim(x -> a) x = a; Außerdem ist der Limes hier IMHO fehl am Platz, aus dem oben genannten Grund (zwischen zwei rationalen Zahlen lässt sich immer auch eine dritte finden, es sei denn, beide sind gleich). (http://de.wikipedia.org/wiki/Rationale_Zahl -> "Zwischen zwei rationalen Zahlen a und b liegt stets eine weitere rationale Zahl c (und somit beliebig viele).").

Wenn wir jetzt noch versuchen, 0.999... als Bruch darzustellen (jede periodische Zahl ist eine rationale Zahl, und jede rationale Zahl ist ein bruch zweier ganzer Zahlen), erinnern wir uns, das 0,[a][a]... gleich a/9 ist. Dann kämen wir auch auf 9/9 = 1.

Reinhard Kern - So 18.10.09 16:19

Luckie hat folgendes geschrieben :

0,9 Periode soll gleich eins sein? Das kann ich nicht glauben:
0,9 Periode nähert sich asymptotisch dem Wert eins, erreicht ihn aber nie.

Hallo,

das ist mathematisch Unsinn, denn eine periodische Zahl hat definionsgemäss unendlich viele Stellen und strebt nirgendwo hin.

Was du hingeschreiben hast, ist eine Folge von Näherungen an die tatsächliche Zahl. Mit der netten Eigenschaft, dass die Folge gegen die Zahl strebt.

Es gibt in jedem Zahlensystem unendlich periodische Zahlen, im Dezimalsystem z.B. 1/3. Das sind aber in jedem Zahlensystem andere, in einem 3er System wäre 1/3 nicht periodisch. Daraus sieht man schon, dass es sich bloss um Schreibweisen handelt, denn die Darstellung in einem anderen Zahlensystem ändert ja nicht die Zahl.

Wahrscheinlich ist es besser, den Thread hier abzuschliessen. Echte Mathematik ist nichts für Programmierer und nichts für Computer, das gibt bloss unendlich periodische Diskussionen.

Gruss Reinhard

Jakob_Ullmann - So 18.10.09 16:56

Also ich bin nicht für abschließen, höchstens für verschieben. :wink:

Ich verstehe nicht, warum Programmierer nichts mit Mathematik am Hut haben sollen. Höchstens im Bezug darauf, dass mit den Standard-Typen von Delphi keine periodischen Zahlen dargestellt werden können.

Luckie: Schauen wir uns doch das hier noch mal an:

Zitat:

0,9 <> 1
0,99 <> 1
0,999 <> 1
0,9999 <> 1
0,99999 <> 1
0,999999 <> 1
0,9999999 <> 1

Ich denke, niemand bezweifelt, dass 0,99... nicht größer als 1 ist. Wir können deshalb aus dem <> erstmal ein < machen. Und 0,9999999 < 1 ist wahr, weil es eine, ebenfalls rationale, Zahl gibt, die die Differenz der beiden Zahlen beschreibt und ungleich 0 ist. In diesem Fall wäre das 0,0000001. Nur: 0,9999 periode 9 hat unendlich viele 9er-Ziffern. Die Differenz lässt sich dann nicht mehr als rationale Zahl darstellen (und die Differenz zweier rationaler Zahlen ist stets rational), sondern lediglich als Grenzwert mit lim_(x -> unendlich) 10^(-x).

An der Stelle möchte ich folgenden Link mal anbringen: http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=13715&hilight=0+9999

EDIT: Übrigens wäre noch zu beweisen, dass 1/3 = 0.333. Müsste man mal überlegen, ob das per Summe geht.

Reinhard Kern - So 18.10.09 18:46

Jakob_Ullmann hat folgendes geschrieben :

...
Ich verstehe nicht, warum Programmierer nichts mit Mathematik am Hut haben sollen. Höchstens im Bezug darauf, dass mit den Standard-Typen von Delphi keine periodischen Zahlen dargestellt werden können.
....

Hallo,

das ist nur ein Symptom - auf jeden Fall haben Computer und ihre Beherrscher nichts mit der Unendlichkeit am Hut. Man kann eben 0.3 Periode nicht in einem Computer darstellen, und wenn man das ganze Universum in Silizium umwandeln würde.

Gruss Reinhard

Jakob_Ullmann - So 18.10.09 19:29

Wie ich schon angedeutet habe: Man kann durchaus eigene Datentypen definieren.

Delphi-Quelltext

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19:

TRationaleZahl = record
  a, b: Integer;
end;

TKommaZahl = record
  stellen: array of Integer;
  komma: Integer;
  periode: array of Integer;
end;

function KommaToRational(x: TKommaZahl): TRationaleZahl;
var
  part1: TRationaleZahl;
  part2: TRationaleZahl;
begin
  part2.a := AddiereArray(x.periode);
  part2.b := 9;
  part1 := DividiereRational(AddiereArray(x.stellen), PotenzRational(Int2Rat(10), Int2Rat(x.komma)));
end;

um das nur mal anzudeuten. :wink:

(bitte nicht ganz so ernst nehmen)

ALF - So 18.10.09 21:12

Hi ich finde es schon Interresant, hatt zwar kaum was mit Delphi zu tun, eher mit Fortran
aber einfach alles ab zu tun weil es nicht Konform ist, ich weiss nicht???

user profile icon

Luckie

Zitat:

aber Grenzwertdiskussionen waren noch nie meine Stärke

liegt aber an dem Verbotenem,
"was nicht sein kann, weil nicht sein darf"
oder wir, ich, du, es nicht verstehn.
Nur wenige Hochschulen (Profs) lassen Diskusionen in diesem Fachbereichen zu.

user profile icon

Reinhard Kern

Zitat:

Echte Mathematik ist nichts für Programmierer und nichts für Computer

auf jeden Fall haben Computer und ihre Beherrscher nichts mit der Unendlichkeit am Hut

Sag das mal den AstroPhysikern, Astronomen, AstroMathematiker :shock:
Für die ist es Elementar ob etwas ins Nirvana geht, oder vielleicht doch nicht. :)

Solch ein Thema hatt den Vorteil, es lenkt mal ab von den leidlichen kleinen Porblemen mit denen wir uns hin und wieder in Delphi plagen! :wink: :mrgreen:

F34r0fTh3D4rk - Mo 19.10.09 10:28

Um mal auf den praktischen Nutzen zu kommen: Wäre es nicht möglich, eine Vielzahl periodischer Zahlen bei geeigneter Wahl des Zahlensystems im Rechner darstellen und Verarbeiten zu können oder würden dann die Basen beliebig groß werden? Lassen sich die möglichen Basen vielleicht sogar einschränken, vielleicht auf Primzahlen?
Ich hab mir darüber schon des öfteren Gedanken gemacht, aber einen konkreten "Beweis" oder ähnliches habe ich bisher nicht gefunden.

Jakob_Ullmann - Mo 19.10.09 11:43

Müsste man mal nach Regelmäßigkeiten suchen. Alle Zahlen x,a lassen sich auf jeden Fall als x + a/9 darstellen. Demnach also als (9x + a)/9. Wenn man also 9 als Basis nimmt, sollten sich auf jeden Fall die Zahlen mit einer periodischen Stelle darstellen lassen. Jetzt fragt sich aber, wie sieht es dann mit den nicht-periodischen Zahlen aus.

Ganz sicher könnte man sicher gehen, wenn man alle Zahlen als Bruch zweier Integer-Werte darstellt. Wenn man dann noch Funktionen fürs Erweitern / Kürzen / Euklidischer Algorithmus einbaut, könnte man vielleicht sogar damit rechnen.

edit: Man könnte auch drei nehmen. Aber 10 und 9 haben leider unterschiedliche Primfaktoren. Das gibt mir schonmal erste Bedenken.

thepaine91 - Mo 19.10.09 16:26

jfheins hat folgendes geschrieben:

x = 0,99999999...
* 10
10* x = 9,9999999...
minus x
10 * x - x = 9
Termumformung
(10 - 1) * x = 9
9 * x = 9
==> x = 1

Um das nochmal aufzugreifen

x = 0,11111111...
* 10
10* x = 1,11111111...
minus x
10 * x - x = 1
Termumformung
(10 - 1) * x = 1
9 * x = 1
==> x = 0,11111111

Aber ist das nicht ein widerspruch in sich?
p = periode
x = 0.9p
*10
10* x = 9.9p
minus x *2
10*x - x*2 = 9.9 - 1.9p8 ?
Termumforumng
(10-2) *x = 8.0p1
8*x = 8.0p1
==> x = 1.0p125 ?

XD Unlogisch aber das beweist doch gleichzeit das 0.9p != 1 oder ?

Jakob_Ullmann - Mo 19.10.09 17:36

Ich weiß nicht:

Zitat:

Aber ist das nicht ein widerspruch in sich?
p = periode
x = 0.9p
*10
10* x = 9.9p
minus x *2
10*x - x*2 = 9.9 - 1.9p8 ?
Termumforumng
(10-2) *x = 8.0p1
8*x = 8.0p1
==> x = 1.0p125 ?

Du vergisst eins: Periode ist unendlich. Eine Zahl wie 1.9p8 gibt es nicht, denn nach der Periode steht nichts mehr. Und eine letzte Stelle existiert nicht.

thepaine91 - Mo 19.10.09 17:55

thepaine91 hat folgendes geschrieben:

XD Unlogisch aber das beweist doch gleichzeit das 0.9p != 1 oder ?

deswegen dieser Satz :P

Damit wollte ich nur darauf hinweisen das:
p = periode
x= 0,9p
10*x - x*2 = 9.9 - 1.9p8 ?
0,9 *2 = 1,8
0,99 * 2 = 1,98

hätte ich aber
x = 1
10 *x - x*2 = 10 - 2
1*2 = 2

Kurz gesagt auch wenn meine Zahl 0,9 Periode ist wäre 0,9 * 2 trotzdem nicht 1,9p

delfiphan - Mo 19.10.09 19:34

F34r0fTh3D4rk hat folgendes geschrieben :

Du musst nicht zwingend in einem Zahlensystem rechnen. Naja, schlussendlich schon, aber nicht mit Kommazahlen... Wenn du mit rationalen Zahlen exakt rechnen willst, speicherst du die am besten einfach in zwei ganzen Zahlen und bringst dem Computer das Bruchrechnen bei. Um die Darstellung eindeutig zu machen kannst du die kürzen und die Vorzeichen auf den Zähler beschränken.

Sobald irrationale Zahlen ins Spiel kommen ist aber Schluss. Um eine irrationale (nicht berechenbare) Zahl zu speichern brauchst du unendlich Speicher. Und davon gibt es eine ganze Menge. Es gibt mehr nicht berechenbare reelle Zahlen als berechenbare.

Yogu - Mo 19.10.09 19:47

delfiphan hat folgendes geschrieben :

Um eine irrationale (nicht berechenbare) Zahl zu speichern

Was heißt hier bitte schön "nicht berechenbar"? Nur, weil man die Wurzel aus 2 nicht als Bruch darstellen kann, heißt das noch lange nicht, dass sie nicht berechnet werden kann.

delfiphan hat folgendes geschrieben :

brauchst du unendlich Speicher.

Nein, man lässt das Bruchrechnen einfach sein und verwendet die Potenzschreibweise:

Quelltext

1:	2^(1)5^(-1)2^(2^(-1))

Das sind dann wohl 0.4√(2). Alles schön berechenbar, wenn notwendig, auch als Dezimalbruch gerundet darstellbar.

delfiphan hat folgendes geschrieben :

Und davon gibt es eine ganze Menge. Es gibt mehr nicht berechenbare reelle Zahlen als berechenbare.

Blödsinn, es gibt von beiden genau unendlich :mrgreen:

Aber ich fürchte, wir sind ein wenig vom Thema abgekommen...

Gausi - Mo 19.10.09 19:53

Yogu hat folgendes geschrieben :

delfiphan hat folgendes geschrieben :

Und davon gibt es eine ganze Menge. Es gibt mehr nicht berechenbare reelle Zahlen als berechenbare.

Blödsinn, es gibt von beiden genau unendlich :mrgreen:

Blödsinn, die Menge der rationalen Zahlen ist abzählbar unendlich, die der reellen Zahlen nicht, d.h. überabzählbar. :mrgreen:

delfiphan - Mo 19.10.09 19:55

Sorry, die Klammer hat wohl verwirrt.

Yogu hat folgendes geschrieben :

Was heißt hier bitte schön "nicht berechenbar"?

http://de.wikipedia.org/wiki/Berechenbare_Zahl

Yogu hat folgendes geschrieben :

Blödsinn, es gibt von beiden genau unendlich :mrgreen:

http://books.google.de/books?q=Analysis+Otto+Forster
Seite 84

//Edit: Es ist schon so, dass man normalerweise nur von "mehr" oder "weniger" spricht, wenn man mit Zahlen hantiert und "unendlich" ist keine Zahl. Aber die Anzahl der berechenbaren Zahlen kannst du durchnummerieren. Du bräuchtest lediglich "unendlich viel Zeit", um die alle zu nennen. Die Anzahl nicht berechenbarer Zahlen ist jedoch überabzählbar. Es ist nicht möglich, die irgendwie aufzuzählen. Es gibt keine Vorschrift, die alle zu berücksichtigen. Es sind einfach zu viele. Daher sagt man, dass es davon mehr gibt. Für mehr Infos, siehe Kardinalität.

baphumet - Mo 19.10.09 21:59

Was ist denn 1/3 in Dezimalschreibweise, wenn man das addiert bzw mit drei multipliziert kommt was als Ergebnis und der Beweis von oben sagt genau dasselbe. Für die ungläubigen oder mathematisch rückständigen, 3/3 ist 1 und da man abr nur eine endliche Ziffernfolge als Gleitkommazahl hat, kommt nunmal nicht 1 heraus. Wer will kann ja 1/3+1/3+1/3 mal per Hand rechnen auf einem Blatt Papier.

Ich sag nur viel Spaß beim Sterben, ihr glaubts nicht, also viel Spaß unendlich viele 3 niederzuschreiben und dann zu rechnen. Viel Spaß wir sehen uns in 20 Jahren.

Reinhard Kern - Di 20.10.09 00:06

Yogu hat folgendes geschrieben :

Blödsinn, es gibt von beiden genau unendlich :mrgreen:

Aber ich fürchte, wir sind ein wenig vom Thema abgekommen...

Nicht nur vom Thema, sondern von den Tatsachen. Es gibt unendlich viele verschiedene Unendlichkeiten. Ist natürlich schwer zu verstehen, wenn man schon mit der kleinsten davon nicht klarkommt.

Gruss Reinhard

Yogu - Di 20.10.09 17:30

Reinhard Kern hat folgendes geschrieben :

Yogu hat folgendes geschrieben :

Blödsinn, es gibt von beiden genau unendlich :mrgreen:

Aber ich fürchte, wir sind ein wenig vom Thema abgekommen...

Nicht nur vom Thema, sondern von den Tatsachen. Es gibt unendlich viele verschiedene Unendlichkeiten. Ist natürlich schwer zu verstehen, wenn man schon mit der kleinsten davon nicht klarkommt.

War ja nicht so ernst gemeint. Um genau zu sein kann ich da noch nicht so richtig mitreden, da ich zu wenig über die mathematische Denkweise von Unendlichkeiten weiß. Das ist ja alles nur Gedankenspielerei. Man sollte nicht sagen, dass es so ist. Besser wäre: Man kann verschiedene Versionen der Unendlichkeit philosophieren, und die deine ist nun die mathematischste. Man kann mit ihr am besten weiterrechnen. Aber es ist nicht die einzige Möglichkeit, über Unendlichkeit zu denken.

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