0,9999999...periode hat aber unendlich viele Nachkommastellen.
und wenn man das mal 10 nimmt, würde bei einer nicht-periodischen Zahl eine Nachkommastelle wegfallen.

Unendlich minus eins ist aber immer noch unendlich!

also ist 10 * x genau gleich 9,9999999...periode und der nachkommaanteil davon ist exakt 0,9999999...periode

P.S.: Nur weil etwas nicht geht wenn n endlich ist, heißt das nicht dass es unmöglich ist, falls n unendlich wird.
exp(-x) ist auch > 0 für alle endlichen x
lim(exp(-x);x->unendlich) = 0
(das ist ein ist-gleich und kein ungefähr-gleich)

P.P.S: Du kannst nicht die letzte Nachkommastelle betrachten, da diese bei einer periodischen Zahl nicht existiert.

richtig...
denn laut definition oder verständinis von unendlich ist unendlich-1=unendlich

das ist ja das tolle daran: man kann damit machen was man will...
am ende ist sogar unendlich-unendlich=y; wobei y bel. (also z.b. y=0; y=1; y=unendlich)

macht viel spaß manchmal

Edit: finde ja den Gegenteil beweis toll:
zu beweisen: 0,999...=1
Annahme: 0,999...<1
Beweis: nach Def. von "<" existiert eine Zahl n aus R+(pos. Zahl) mit 0,999...+n=1
für jede Zahl n gilt aber 0,999...+n>1
-->Widerspruch-->Annahme ist falsch-->0,999...=1
q.e.d.

^^

Kennst du den Limes?


Schreibt man das, heißt das: "b nähert sich 1 immer weiter an, erreicht es aber nie. a ist gleich dem Limes dieser Annäherung, also der nie erreichte Extremwert."

Jetzt ist es mathematisch möglich, folgendes zu schreiben:


Das braucht man nicht zu beweisen, das ist so. Da der Limes den nie erreichte Extremwert darstellt, und dieser Extremwert eben 1 beträgt, ist a = 1.


b nähert sich der 1immer näher an, erreicht sie aber nie. Null komma Periode neun ist der nie erreichte Extremwert von b, also 1.

Ich weiß, ein richtiger Beweis ist das nicht. Aber man sollte im Hinterkopf behalten, dass es grundsätzlich einen Unterschied zwischen "Annäherung" und "Unendlich angenähert" gibt. 0.99999999 ist eine Annäherung an 1, 0.9periode ist unendlich daran angenähert.

Edit: 1, 10 - das ist doch das gleiche

Es ist so. Ein wichtiger Beweis wurde genannt:



Und der zweite: Wenn es ungleich wäre, gäbe es eine Zahl, die dazwischen liegt. Da diese offenbar nicht existiert (und 0,999... als periodische Zahl eine rationale Zahl ist, und zwischen zwei rationalen Zahlen liegt immer auch eine dritte), müssen beide Zahlen gleich sein. (EDIT: Sehe gerade, dass das schon von Flamefire genannt wurde)

@Yogu: Zuerst einmal geht es um 0.999... und 1, oder 9.999... und 10.
Und zweitens, wenn wir das nehmen (dementsprechend abgewandelt):

Zitat:

markieren Quelltext     1: 0.999999999periode = lim(b->1) b

Geht daraus sehr wohl hervor, dass 0.999periode = 1, denn lim(x -> a) x = a; Außerdem ist der Limes hier IMHO fehl am Platz, aus dem oben genannten Grund (zwischen zwei rationalen Zahlen lässt sich immer auch eine dritte finden, es sei denn, beide sind gleich). (de.wikipedia.org/wiki/Rationale_Zahl -> "Zwischen zwei rationalen Zahlen a und b liegt stets eine weitere rationale Zahl c (und somit beliebig viele).").

Wenn wir jetzt noch versuchen, 0.999... als Bruch darzustellen (jede periodische Zahl ist eine rationale Zahl, und jede rationale Zahl ist ein bruch zweier ganzer Zahlen), erinnern wir uns, das 0,[a][a]... gleich a/9 ist. Dann kämen wir auch auf 9/9 = 1.

Luckie hat folgendes geschrieben :

0,9 Periode soll gleich eins sein? Das kann ich nicht glauben: 0,9 Periode nähert sich asymptotisch dem Wert eins, erreicht ihn aber nie.

Hallo,

das ist mathematisch Unsinn, denn eine periodische Zahl hat definionsgemäss unendlich viele Stellen und strebt nirgendwo hin.

Was du hingeschreiben hast, ist eine Folge von Näherungen an die tatsächliche Zahl. Mit der netten Eigenschaft, dass die Folge gegen die Zahl strebt.

Es gibt in jedem Zahlensystem unendlich periodische Zahlen, im Dezimalsystem z.B. 1/3. Das sind aber in jedem Zahlensystem andere, in einem 3er System wäre 1/3 nicht periodisch. Daraus sieht man schon, dass es sich bloss um Schreibweisen handelt, denn die Darstellung in einem anderen Zahlensystem ändert ja nicht die Zahl.

Wahrscheinlich ist es besser, den Thread hier abzuschliessen. Echte Mathematik ist nichts für Programmierer und nichts für Computer, das gibt bloss unendlich periodische Diskussionen.

Gruss Reinhard

Leuchtet ,mir zwar immer noch nicht so ganz ein, aber Grenzwertdiskussionen waren noch nie meine Stärke, da versagte dann meist mein Vorstellungsvermögen.

Also ich bin nicht für abschließen, höchstens für verschieben.

Ich verstehe nicht, warum Programmierer nichts mit Mathematik am Hut haben sollen. Höchstens im Bezug darauf, dass mit den Standard-Typen von Delphi keine periodischen Zahlen dargestellt werden können.

Luckie: Schauen wir uns doch das hier noch mal an:

Zitat:

0,9 <> 1 0,99 <> 1 0,999 <> 1 0,9999 <> 1 0,99999 <> 1 0,999999 <> 1 0,9999999 <> 1

Ich denke, niemand bezweifelt, dass 0,99... nicht größer als 1 ist. Wir können deshalb aus dem <> erstmal ein < machen. Und 0,9999999 < 1 ist wahr, weil es eine, ebenfalls rationale, Zahl gibt, die die Differenz der beiden Zahlen beschreibt und ungleich 0 ist. In diesem Fall wäre das 0,0000001. Nur: 0,9999 periode 9 hat unendlich viele 9er-Ziffern. Die Differenz lässt sich dann nicht mehr als rationale Zahl darstellen (und die Differenz zweier rationaler Zahlen ist stets rational), sondern lediglich als Grenzwert mit lim_(x -> unendlich) 10^(-x).

An der Stelle möchte ich folgenden Link mal anbringen: www.matheboard.de/th...5&hilight=0+9999

EDIT: Übrigens wäre noch zu beweisen, dass 1/3 = 0.333. Müsste man mal überlegen, ob das per Summe geht.

Jakob_Ullmann hat folgendes geschrieben :

... Ich verstehe nicht, warum Programmierer nichts mit Mathematik am Hut haben sollen. Höchstens im Bezug darauf, dass mit den Standard-Typen von Delphi keine periodischen Zahlen dargestellt werden können. ....

Hallo,

das ist nur ein Symptom - auf jeden Fall haben Computer und ihre Beherrscher nichts mit der Unendlichkeit am Hut. Man kann eben 0.3 Periode nicht in einem Computer darstellen, und wenn man das ganze Universum in Silizium umwandeln würde.

Gruss Reinhard

Wie ich schon angedeutet habe: Man kann durchaus eigene Datentypen definieren.



um das nur mal anzudeuten.

(bitte nicht ganz so ernst nehmen)

Hi ich finde es schon Interresant, hatt zwar kaum was mit Delphi zu tun, eher mit Fortran
aber einfach alles ab zu tun weil es nicht Konform ist, ich weiss nicht???

Luckie

Zitat:

aber Grenzwertdiskussionen waren noch nie meine Stärke

liegt aber an dem Verbotenem,
"was nicht sein kann, weil nicht sein darf"
oder wir, ich, du, es nicht verstehn.
Nur wenige Hochschulen (Profs) lassen Diskusionen in diesem Fachbereichen zu.

Reinhard Kern

Zitat:

Echte Mathematik ist nichts für Programmierer und nichts für Computer auf jeden Fall haben Computer und ihre Beherrscher nichts mit der Unendlichkeit am Hut

Sag das mal den AstroPhysikern, Astronomen, AstroMathematiker
Für die ist es Elementar ob etwas ins Nirvana geht, oder vielleicht doch nicht.

Solch ein Thema hatt den Vorteil, es lenkt mal ab von den leidlichen kleinen Porblemen mit denen wir uns hin und wieder in Delphi plagen!

Um mal auf den praktischen Nutzen zu kommen: Wäre es nicht möglich, eine Vielzahl periodischer Zahlen bei geeigneter Wahl des Zahlensystems im Rechner darstellen und Verarbeiten zu können oder würden dann die Basen beliebig groß werden? Lassen sich die möglichen Basen vielleicht sogar einschränken, vielleicht auf Primzahlen?
Ich hab mir darüber schon des öfteren Gedanken gemacht, aber einen konkreten "Beweis" oder ähnliches habe ich bisher nicht gefunden.

Müsste man mal nach Regelmäßigkeiten suchen. Alle Zahlen x,a lassen sich auf jeden Fall als x + a/9 darstellen. Demnach also als (9x + a)/9. Wenn man also 9 als Basis nimmt, sollten sich auf jeden Fall die Zahlen mit einer periodischen Stelle darstellen lassen. Jetzt fragt sich aber, wie sieht es dann mit den nicht-periodischen Zahlen aus.

Ganz sicher könnte man sicher gehen, wenn man alle Zahlen als Bruch zweier Integer-Werte darstellt. Wenn man dann noch Funktionen fürs Erweitern / Kürzen / Euklidischer Algorithmus einbaut, könnte man vielleicht sogar damit rechnen.

edit: Man könnte auch drei nehmen. Aber 10 und 9 haben leider unterschiedliche Primfaktoren. Das gibt mir schonmal erste Bedenken.

jfheins hat folgendes geschrieben:

x = 0,99999999... * 10 10* x = 9,9999999... minus x 10 * x - x = 9 Termumformung (10 - 1) * x = 9 9 * x = 9 ==> x = 1

Um das nochmal aufzugreifen

x = 0,11111111...
* 10
10* x = 1,11111111...
minus x
10 * x - x = 1
Termumformung
(10 - 1) * x = 1
9 * x = 1
==> x = 0,11111111

Aber ist das nicht ein widerspruch in sich?
p = periode
x = 0.9p
*10
10* x = 9.9p
minus x *2
10*x - x*2 = 9.9 - 1.9p8 ?
Termumforumng
(10-2) *x = 8.0p1
8*x = 8.0p1
==> x = 1.0p125 ?

XD Unlogisch aber das beweist doch gleichzeit das 0.9p != 1 oder ?

Ich weiß nicht:

Zitat:

Aber ist das nicht ein widerspruch in sich? p = periode x = 0.9p *10 10* x = 9.9p minus x *2 10*x - x*2 = 9.9 - 1.9p8 ? Termumforumng (10-2) *x = 8.0p1 8*x = 8.0p1 ==> x = 1.0p125 ?

Du vergisst eins: Periode ist unendlich. Eine Zahl wie 1.9p8 gibt es nicht, denn nach der Periode steht nichts mehr. Und eine letzte Stelle existiert nicht.

Schade das es in Delphi oder generell keine theoretischen Zahlenbereiche gibt..
Man kann sagen das 0,9 Periode 1 ist, auch wenn das glaub für nix eine Relevanz hat,
spaßig und interessant ist es trotzdem.

thepaine91 hat folgendes geschrieben:

XD Unlogisch aber das beweist doch gleichzeit das 0.9p != 1 oder ?

deswegen dieser Satz

Damit wollte ich nur darauf hinweisen das:
p = periode
x= 0,9p
10*x - x*2 = 9.9 - 1.9p8 ?
0,9 *2 = 1,8
0,99 * 2 = 1,98

hätte ich aber
x = 1
10 *x - x*2 = 10 - 2
1*2 = 2

Kurz gesagt auch wenn meine Zahl 0,9 Periode ist wäre 0,9 * 2 trotzdem nicht 1,9p

[quote="thepaine91"(581813)]

thepaine91 hat folgendes geschrieben:

Kurz gesagt auch wenn meine Zahl 0,9 Periode ist wäre 0,9 * 2 trotzdem nicht 1,9p

doch!!

0,9p = 1-[eine Zahl die fast 0 ist]

2*0,9p ist dementsprechend auch

2*(1-[eine Zahl, die fast 0 ist])
= 2*1-2*[fast 0]
= 1,9p

0.999... ist per üblicher Definition der Dezimalzahlen exakt gleich 1.

Für Beweis einfach formale Definition nachgucken, einsetzen, fertig. Es gibt aber auch mindestens ein halbes Duzend rechnerische Beweise. Die zu googeln dürfte nicht schwer sein.

gut gebrüllt, Löwe!

Aber wenn jeder, der es genau wissen will, einfach einmal googlen würde, gäbe es dieses Thema nicht, so unsinnig wie es eig auch ist....

"0.999" in Google ergibt auf Platz 1: http://en.wikipedia.org/wiki/0.999...