Hi, ich denke das ist der einzig passende Bereich. (Habe mal versucht die wichtigsten Teile hervorzuheben)

Aufgabe sei folgende:

Kann man eine Strecke von 10 m (=1000 cm) mit Latten der Langen 50 cm
und 70 cm genau uberdecken ? Wenn ja, geben Sie alle Moglichkeiten an.

EDIT: Ich hoffe es lässt sich so besser nachvollziehen.
Ausgang: 70x+50y=1000
Lineare Darstellung des ggT(70,50) => 10=-2*70+3*50
Menge aller Lösungen laut Definition : {(x0 + t · b / ggT(a, b) , y0 − t · a / ggT(a, b) ) | t ∈ ℤ} => in meinem Fall {10 = 70(-2+5t)+50(3-7t) | t ∈ ℤ}

Um die Gleichung auf meine 1000 = 70x+50y anzupassen habe ich also 10 = 70(-2+5t)+50(3-7t) | *100 gerechnet => 1000 = 70(-200 +5t)+50(300-7t)

Da man keine -10 Latten kaufen kann habe ich also folgende Bedingung definiert:
x = -200+5t > 0 => 5t > 200 => t > 40 und
y = 300-7t > 0 => 300 > 7t => 42,86 > ≙ t < 42,86
somit t ∈ {41,42).

Das sollte soweit Stimmen. Würde ich aber y wie x berechnen hätte ich t > 42,86. Meine eigentliche Frage aber, wieso lasse ich für x 5t links stehen und für y stelle ich es nach rechts? Mir fällt keine logische Erklärung dafür ein und ich hasse es Dinge einfach als gegeben anzusehen. ^^

Falls mir das jemand Beantworten kann wäre ich super dankbar, hoffe das ist verständlich.

Hallo,
Mit der homogenen Gleichung 50 x + 70 y = 0 wird -50 x = 70 y, d.h. nach Einführung eines ganzzahligen Parameters k wird x = -7k und y = 5k.
Eine einzelne Lösung der inhomogenen Gleichung ergibt sich mit dem erweiterten Euklidischen Algorithmus, z.B. x0 = -1 und y0 = 15.
In der Kombination wird allgemein
x = -1-7·k
y = 15+5·k
Nur für k = -3, -2 und -1 ergeben sich für x und y nichtnegative Lösungen
x = 20 ; y = 0
x = 13 ; y = 5
x = 6 ; y = 10

Beste Grüße
Mathematiker

Hallo,

die Rechnung kann ich nicht nachvollziehen.

Rechnen wir in Dezimetern, dann soll sein

n*7 + m*5 = 100.

Diese Gleichung ist für n=0 und m=20 offensichtlich erfülllt. Wen man davon ausgehend m erhöht oder vermindert, dann kann die Gleichung nur erfüllt sein, wenn n*7 durch 5 teilbar ist. Da 7 prim und nicht durch 5 teilbar ist, muss n durch 5 teilbar sein. Mögliche Lösungen also:
n = 0, m = 20
n = 5, m = 13
n = 10, m = 6;

Wenn man im Sinne eine diophantischen Gleichung auch negative Zahlen zulässt, dann geht es in 5er Schritten für n nach unten und oben ebenso weiter.

Allgemein:

n-t*5, m = 20 - t*7

Gruß
GuaAck

Zuerst einmal vielen Dank für eure schnellen Antworten.

Ein Online Rechner für lineare diophantische Gleichungen liefert ebenfalls euer Ergebnis stimmen tut aber beides :O.

Habe mir zur Sicherheit nochmal die Aufzeichnung der Vorlesung angesehen und dort wird das genauso gemacht wie von mir gezeigt.
Wenn ihr die Rechnung mit den angegebenen Zahlen der Menge t > t ∈ {41,42) durchführt erhaltet ihr: z.B. für t = 41 => x = -200+5*41, y = 300-7*41 => was x = x und y = 13 entspricht.
Ihr habt auch das Ergebnis x = 0 y= 20 welches ich mit > 0 bewusst ausgeschlossen habe wenn ich von ≥ 0 ausgehen würde hätte ich dieses aber auch.
Das ist ja genau das was auch ihr als Lösungen für x&y bzw n&m angegeben habt. Also haben wir an sich sowieso die selbe Lösung, ich denke ich habe aber meine Schritte nicht optimal erklärt.

Aus diesem Grund editiere ich mal mein ursprünglichen Beitrag damit ich das ganze hier nicht unnötig aufblähe, würde mich aber natürlich freuen wenn sich nochmal jemand die Mühe macht darauf zu Antworten.

Hallo,

thepaine91 hat folgendes geschrieben :

x = -200+5t > 0 => 5t > 200 => t > 40 und y = 300-7t > 0 => 300 > 7t => 42,86 > ≙ t < 42,86 .... Meine eigentliche Frage aber, wieso lasse ich für x 5t links stehen und für y stelle ich es nach rechts?

Jetzt weiß ich, worum es dir geht.
Löst du 300-7t > 0 wie folgt auf:
-7t > -300
dann musst du anschließend durch -7 teilen und glaubst, da käme
t > 42,86
heraus. Das ist aber falsch!
Bei Multiplikation bzw. Division mit einem negativen Wert, hier -7, dreht sich in Ungleichungen(!) das Relationszeichen herum, d.h. es folgt korrekt
t < 42,86

Beste Grüße
Mathematiker

Mathematiker hat folgendes geschrieben :

Hallo, thepaine91 hat folgendes geschrieben : x = -200+5t > 0 => 5t > 200 => t > 40 und y = 300-7t > 0 => 300 > 7t => 42,86 > ≙ t < 42,86 .... Meine eigentliche Frage aber, wieso lasse ich für x 5t links stehen und für y stelle ich es nach rechts? Jetzt weiß ich, worum es dir geht. Löst du 300-7t > 0 wie folgt auf: -7t > -300 dann musst du anschließend durch -7 teilen und glaubst, da käme t > 42,86 heraus. Das ist aber falsch! Bei Multiplikation bzw. Division mit einem negativen Wert, hier -7, dreht sich in Ungleichungen(!) das Relationszeichen herum, d.h. es folgt korrekt t < 42,86 Beste Grüße Mathematiker

Exakt genau das hatte ich nicht verstanden, da hat mir wohl die entsprechende Grundkenntnis für das Arbeiten mit Ungleichungen gefehlt.

Ihr habt mir beide unglaublich weitergeholfen nochmals vielen Dank an euch.

Eine Unklarheit besteht allerdings noch, ich habe versucht nachzuvollziehen wieso ich die Lösung => x = -2+5t, y = 3-7t und ihr, so wie der Rechner, x = 5b, y = 20 - 7b heraus bekommt. Beides führt zu richtigen Ergebnissen und beides wurde (denke ich) mit dem selben Algorithmus erarbeitet. Wie können dann 2 verschiedenen und jeweils richtige Lösungen entstehen?

Hallo,

thepaine91 hat folgendes geschrieben :

Eine Unklarheit besteht allerdings noch, ich habe versucht nachzuvollziehen wieso ich die Lösung => x = -2+5t, y = 3-7t und ihr, so wie der Rechner, x = 5b, y = 20 - 7b heraus bekommt.

Zuerst haben wir beide x und y gerade für die anderen Längen angesetzt.
Ändere ich meine Lösung auf deinen Ansatz wird
x = 15+5t
y = -1-7t
und deine Lösung
x = -200+5t
y = 300-7t
Beide Lösungsmengen sind identisch, da t alle ganzen Zahlen durchläuft. Setze ich für "mein" t z.B. 0 ein, so erhältst du bei deiner Lösung die gleiche Einzellösung, wenn du t = 43 setzt. Da t jede ganze Zahl annimmt, treten alle Einzellösungen in beiden Fällen auf.
Dass die Gleichung anders aussehen, liegt am Lösungsverfahren. Ich bevorzuge das klassische Verfahren, bei dem die Summe der Beträge der beiden absoluten Glieder (bei mir 15 und -1) möglichst klein ist. Es ginge aber auch
x = 10+5t
y = 6-7t oder noch anders ...
Das ist aber nicht von Bedeutung.

Beste Grüße
Mathematiker

Hallo Mathematiker,

danke das du dir die Mühe gemacht hast das nochmal zu erklären. Jetzt habe sogar ich es verstanden.

Damit wären wohl alle Fragen beantwortet.

Hallo,

thepaine91 hat folgendes geschrieben :

Damit wären wohl alle Fragen beantwortet.

Alle Fragen? Bist du dir da sicher?
Also ich habe noch einige:

Gibt es Außerirdische?
Wer hat Kennedy erschossen?
Ist der IQ von Dschungelcamp-Sehern größer als 0?
Weshalb habe ich den Job, den ich nun einmal habe?
usw. usf.

Beste Grüße
Mathematiker

Hallo,

Mathematiker hat folgendes geschrieben :

Hallo, thepaine91 hat folgendes geschrieben : Damit wären wohl alle Fragen beantwortet. Alle Fragen? Bist du dir da sicher? Also ich habe noch einige: Gibt es Außerirdische? Wer hat Kennedy erschossen? Ist der IQ von Dschungelcamp-Sehern größer als 0? Weshalb habe ich den Job, den ich nun einmal habe? usw. usf. Beste Grüße Mathematiker

kein Problem:
1. Ja
2. Ein Mensch.
3. Vermutlich ja, da sie in der Lage waren den Fernseher einzuschalten.
4. Weil du ihn ausgesucht hast.
usw. usf.

Alternativ "Alle Fragen = {x | x ∈ der Fragen des Threaderstellers}" oder so ähnlich...

Zum Glück befinden wir uns im Off Topic

Grüße