Hallo zusammen,

ein 8-Klässler der Realschule hat mir folgende Aufgabe geschickt:
Die Rauminhalte zweier ähnlicher Körper unterscheiden sich um 1176cm². Entsprechende Seiten verhalten sich wie 3:5. Berechne die Oberflächen der beiden ähnlichen Figuren!

Erstmal sollte es wohl cm³ statt cm² heißen, aber egal. Nun, ich habe das ganze mal anhand eines Würfels hergeleitet, da dieser die simplen Beziehunungen V=a³ und O=6*a² hat. Dann komme ich auf 786cm² und 283cm². War ein kleiner algebraischer Nahkampf, aber soweit zufriedenstellend.

Aber für die 8. Klasse Realschule war das dann doch zu viel Algebra... kann es sein dass ich vor lauter Bronstein die simpelsten Beziehungen nicht mehr überblicke? Gibt es ein allgemeines Verhältnis zwischen Volumen und Oberfläche eines allgemeinen Körpers bzw. gibt es Ähnlichkeitssätze für geometrische Körper, aus denen so etwas hervorgeht?

Ich würd mal sagen, die Aufgabe ist sinnlos, wenn man nicht weiß, um welche Körper es dabei geht.

Falls ich mich irre, schließe ich mich dir an

Andreas Pfau hat folgendes geschrieben:

... kann es sein dass ich vor lauter Bronstein die simpelsten Beziehungen nicht mehr überblicke?

Oder kann's sein, dass nicht die Einheit falsch ist, sondern sich die Oberflächen (und nicht die Rauminhalte) um diesen Wert unterscheiden?

Für jede Körpergruppe gilt ein andres Verhältnis von Volumen zu Oberfläche.

Hallo,

das ist doch zentrische Streckung um Faktor f.
Längen linear xf, Flächen quadratischx xfxf, Volumina kubisch xfxfxf
Also

V1 = f*f*f*V0, f= 5/3 =1.66..

Zitat:

in 8-Klässler der Realschule hat mir folgende Aufgabe geschickt: Die Rauminhalte zweier ähnlicher Körper unterscheiden sich um 1176cm². Entsprechende Seiten verhalten sich wie 3:5. Berechne die Oberflächen der beiden ähnlichen Figuren! Erstmal sollte es wohl cm³ statt cm² heißen, aber egal. Nun, ich habe das ganze mal anhand eines Würfels hergeleitet, da dieser die simplen Beziehunungen V=a³ und O=6*a² hat. Dann komme ich auf 786cm² und 283cm². War ein kleiner algebraischer Nahkampf, aber soweit zufriedenstellend.

Da komme ich auf
324 cm3 und 1500 cm3 mit der Differenz 1176 cm3
V1= f^3*V0
(V0+dV)=f^3*V0
.....
V0 = dV/(1-1/f^3)/f^3 [edit] war V0 = dV/(1-17f^3)/f^3[/edit]

Nun kann man die Frage nach der Oberfläche aber so wie in der Frage beantwortet
Wenn die Oberfläche A0 ?? cm2 ist dann ist sie jetzt eben A1= A0x2,777.

Gruß Horst

Hi,

im Prinzip hat Tilo meine Frage beantwortet: wenns kein allgemein gültiges Verhältnis gibt, muss man das Problem algebraisch löschen.

@Horst_H: komisch, ich hab die Lösungen sogar überprüft... naja, wie dem auch sei, meiner Lösung liegt ein Würfel zugrunde, und mit einem anderen Körper wäre was anderes rausgekommen (laut Tilo). Insofern kann die Zahlenmäßige Lösung unter den Teppich gekehrt werden...

Hi,

Zitat:

Berechne die Oberflächen der beiden ähnlichen Figuren!

Falsche Aufgabenstellung würde ich mal sagen.

mfG,

Hallo,

die zahlenmässige Lösung ist doch auf das Volumen bezogen richtig.
V0= 324 +1176=1500 cm^3 =V1
Wie der Ursprungskörüper und der zentrisch gestreckte aussieht ist ja dafür egal.
Jetzt kann sich ja ein paar Körper ausssuchen Quader 1x1x324 oder 9x9x4 oder Kugel, Ellipsoid, Prisma Kegel oder oder..

Gruß Horst

Hi,

@Hidden: was erwartest du, wenn die Rauminhalte in Quadratzentimeter angegeben werden?

@Horst_H: entschuldige, du hattest Recht mit den Zahlen. Die hab ich auch raus - nur war ich vorhin bei der Oberfläche und nicht beim Volumen.

Aber ich denke man sollte nochmal erwähnen, dass es ähnliche Körper sind. Wenn ich das richtig verstanden habe, handelt es sich also um Körper, deren äquivalente Seiten jeweils um den gleichen Faktor gestreckt sind - also z.B. einen Quader, dessen Seiten alle um den gleichen Faktor gestreckt wurden. Oder einen Würfel der zu einem Würfel gestreckt wurde. Oder nicht?

Andreas Pfau hat folgendes geschrieben:

Aber ich denke man sollte nochmal erwähnen, dass es ähnliche Körper sind. Wenn ich das richtig verstanden habe, handelt es sich also um Körper, deren äquivalente Seiten jeweils um den gleichen Faktor gestreckt sind - also z.B. einen Quader, dessen Seiten alle um den gleichen Faktor gestreckt wurden. Oder einen Würfel der zu einem Würfel gestreckt wurde. Oder nicht?

Ja. Aber das bringt auch kein Verhältnis zwischen Volumen und Oberfläche, wenn man nicht weiß, ob der Körper ein Würfel, eine Kugel oder ein Ikosaeder ist.

Hi,

ich hab das Thema als beantwortet markiert, weil @nagel meine Frage voll und ganz beantwortet.

Danke an euch alle!