Wie schon Cashels schrieb, ist DBase eigentlich niemals für den Mehrbenutzerbetrieb entwickelt worden. Die ganze Benutzer- und Zugriffsverwaltung wird von der BDE abgewickelt und diese ist auch nicht die schnellste.
Die erste Alternative wäre Paradox, Du stellst Deine Tabellen um und gibst Deine Anwendung wie gehabt mit der BDE weiter.
Die zweite Alternative, wie Cashels schrieb, ist Access. Deine Kunden benötigen nicht unbedingt Access auf jedem Arbeitsplatz, eine Excel-Vollinstallation reicht aus. Dabei wird die MS-Jet-Datenbankengine, der "Motor" von Access, sowie die nötigen ADO-Dateien auf dem System installiert.
Über ADO kann man auch ohne die Jet-Engine zugreifen, allerdings muss man dann mindestens eine leere Access-DB mitliefern, welche über ADO geöffnet werden kann.
Für Access gibt es auch Direktzugriffskomponenten, welche die BDE überflüssig machen. Schau zu diesem Punkt mal bei Torry nach.
Falls Du eine Microsoft-Entwicklerlizenz besitzt und bei Deinem Kunden nicht mehr als fünf Clients gleichzeitig zugreifen, kannst Du auch auf die mit Visual Studio, bzw. VB und VC++ mitgelieferte MSDE zurückgreifen.
Dies ist ein auf fünf Benutzer kastrierter MS-SQL-Server, welcher mit allen Komponenten, welche für MS SQL geeignet sind, angesprochen werden kann. Die MSDE kann vom Entwickler an seine Kunden kostenlos weitergegeben werden.
Ansonsten kämen dann die etwas unhandlicheren Alternativen wie mySQL in Frage.