1:
2:

{Machine epsilons: smallest (negative) powers of 2 with 1 + eps_? <> 1}
const eps_x: extended = 1.084202172485504434E-19; {Hex: 0000000000000080C03F}					

1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:

>  table(each(range(-50,-70,-1),n, {n, 2^n, 1 + 2^n} ))
....
 -55  2.775 557 561 562 891 35E-17  1.000 000 000 000 000 03
 -56  1.387 778 780 781 445 68E-17  1.000 000 000 000 000 01
 -57  6.938 893 903 907 228 38E-18  1.000 000 000 000 000 01
 -58  3.469 446 951 953 614 19E-18  1
 -59  1.734 723 475 976 807 09E-18  1
 -60  8.673 617 379 884 035 47E-19  1
 -61  4.336 808 689 942 017 74E-19  1
 -62  2.168 404 344 971 008 87E-19  1
 -63  1.084 202 172 485 504 43E-19  1
....					

1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
14:
15:
16:
17:
18:
19:
20:

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);
const
    eps_y = 1.084202172485504434E-19;
var
    eps_x,ergebnis:extended;
begin
    eps_x:=1.084202172485504434E-19;
    ergebnis:=eps_x/1.084202172485504434E-19;
    memo1.lines.add(floattostr(ergebnis));
    ergebnis:=1.084202172485504434E-19/1.084202172485504434E-19;
    memo1.lines.add(floattostr(ergebnis));
    ergebnis:=eps_x/eps_y;
    memo1.lines.add(floattostr(ergebnis));
    ergebnis:=eps_y/1.084202172485504434E-19;
    memo1.lines.add(floattostr(ergebnis));
    ergebnis:=eps_y/eps_y;
    memo1.lines.add(floattostr(ergebnis));
    ergebnis:=1.084202172485504434E-19/eps_y;
    memo1.lines.add(floattostr(ergebnis));
end;					

1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
14:
15:
16:
17:
18:
19:
20:
21:
22:
23:
24:
25:

  i                         2^i           1+2^i (dec)           1+2^i (hex)
-55   2.77555756156289135E-0017  1.000000000000000030  3FFF8000000000000100
-56   1.38777878078144568E-0017  1.000000000000000010  3FFF8000000000000080
-57   6.93889390390722838E-0018  1.000000000000000010  3FFF8000000000000040
-58   3.46944695195361419E-0018  1.000000000000000000  3FFF8000000000000020
-59   1.73472347597680709E-0018  1.000000000000000000  3FFF8000000000000010
-60   8.67361737988403547E-0019  1.000000000000000000  3FFF8000000000000008
-61   4.33680868994201774E-0019  1.000000000000000000  3FFF8000000000000004
-62   2.16840434497100887E-0019  1.000000000000000000  3FFF8000000000000002
-63   1.08420217248550443E-0019  1.000000000000000000  3FFF8000000000000001
-64   5.42101086242752217E-0020  1.000000000000000000  3FFF8000000000000000
-65   2.71050543121376108E-0020  1.000000000000000000  3FFF8000000000000000

  i                         2^i           1-2^i (dec)           1-2^i (hex)
-55   2.77555756156289135E-0017  0.999999999999999970  3FFEFFFFFFFFFFFFFE00
-56   1.38777878078144568E-0017  0.999999999999999990  3FFEFFFFFFFFFFFFFF00
-57   6.93889390390722838E-0018  0.999999999999999990  3FFEFFFFFFFFFFFFFF80
-58   3.46944695195361419E-0018  1.000000000000000000  3FFEFFFFFFFFFFFFFFC0
-59   1.73472347597680709E-0018  1.000000000000000000  3FFEFFFFFFFFFFFFFFE0
-60   8.67361737988403547E-0019  1.000000000000000000  3FFEFFFFFFFFFFFFFFF0
-61   4.33680868994201774E-0019  1.000000000000000000  3FFEFFFFFFFFFFFFFFF8
-62   2.16840434497100887E-0019  1.000000000000000000  3FFEFFFFFFFFFFFFFFFC
-63   1.08420217248550443E-0019  1.000000000000000000  3FFEFFFFFFFFFFFFFFFE
-64   5.42101086242752217E-0020  1.000000000000000000  3FFEFFFFFFFFFFFFFFFF
-65   2.71050543121376108E-0020  1.000000000000000000  3FFF8000000000000000					

1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:

>  table(each(range(-55,-65,-1),n,{n, 2^n, 1+2^n, exthex(1+2^n), 1-2^n, exthex(1-2^n) }))
-55  2.77555756156289135E-17  1.00000000000000003  3FFF8000000000000100  0.999999999999999972  3FFEFFFFFFFFFFFFFE00
-56  1.38777878078144568E-17  1.00000000000000001  3FFF8000000000000080  0.999999999999999986  3FFEFFFFFFFFFFFFFF00
-57  6.93889390390722838E-18  1.00000000000000001  3FFF8000000000000040  0.999999999999999993  3FFEFFFFFFFFFFFFFF80
-58  3.46944695195361419E-18  1                    3FFF8000000000000020  0.999999999999999996  3FFEFFFFFFFFFFFFFFC0
-59  1.73472347597680709E-18  1                    3FFF8000000000000010  0.999999999999999998  3FFEFFFFFFFFFFFFFFE0
-60  8.67361737988403547E-19  1                    3FFF8000000000000008  0.999999999999999999  3FFEFFFFFFFFFFFFFFF0
-61  4.33680868994201774E-19  1                    3FFF8000000000000004  1                     3FFEFFFFFFFFFFFFFFF8					

1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
14:
15:
16:
17:
18:
19:
20:
21:
22:
23:
24:
25:
26:
27:
28:

program t_eps;
{$i STD.INC}
{$ifdef AppCons}
  {$apptype console}
{$endif}
{$ifdef BIT16}
{$N+}
{$endif}
uses
  amath;
var
  x,y: extended;
  i: integer;
begin
  writeln('i':3, '2^i':28, '1+2^i (dec)':22, '1+2^i (hex)':22);
  for i:=55 to 65 do begin
    x := ldexp(1,-i);
    y := 1 + x;
    writeln(-i:3, x:28, y:22:18, Ext2Hex(y):22);
  end;
  writeln;
  writeln('i':3, '2^i':28, '1-2^i (dec)':22, '1-2^i (hex)':22);
  for i:=55 to 65 do begin
    x := ldexp(1,-i);
    y := 1 - x;
    writeln(-i:3, x:28, y:22:18, Ext2Hex(y):22);
  end;
end.					

1:
2:

1.00000000000000000010842021724855044340074528008699417114258...
0.99999999999999999989157978275144955659925471991300582885742...					

1:
2:
3:
4:
5:
6:

function IsZero(const A: Extended; Epsilon: Extended): Boolean;
begin
  if Epsilon = 0 then
    Epsilon := ExtendedResolution;
  Result := Abs(A) <= Epsilon;
end;					

1:
2:
3:

SingleResolution   = 1E-7 * FuzzFactor;
DoubleResolution   = 1E-15 * FuzzFactor;
ExtendedResolution = 1E-19 * FuzzFactor;					

1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
14:
15:

function Sinh(const X: Extended): Extended;
begin
  if IsZero(X) then
    Result := 0
  else
    Result := (Exp(X) - Exp(-X)) / 2;
end;

function Tanh(const X: Extended): Extended;
begin
  if IsZero(X) then
    Result := 0
  else
    Result := SinH(X) / CosH(X);
end;					

1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:

function Sinh(const X: Extended): Extended;
begin
  if IsZero(X) then
    Result := X
  else
    Result := (Exp(X) - Exp(-X)) / 2;
end;					

1:
2:
3:

if (abs(y)<1.0) and (abs(x) >= abs(y)*MaxExtended) then begin
  //Überlaufbehandlung, Meldung etc
end;					

1:
2:
3:

x =  1.00000000000000000E-0008
Simple     1.00000000000219271E-0008    -2.19269459360293961E-0012
 AMath     1.00000000000000001E-0008     0.00000000000000000E+0000					

1:
2:
3:
4:
5:

1.570796326794896620  3FFFC90FDAA22168C233  +1.917576464337592266837039248E-19
1.570796326794896620  3FFFC90FDAA22168C234  +8.333742918520878328295864468E-20
1.570796326794896620  3FFFC90FDAA22168C235  -2.508278806334166011778663540E-20
1.570796326794896620  3FFFC90FDAA22168C236  -1.335030053118921035185319155E-19
1.570796326794896620  3FFFC90FDAA22168C237  -2.419232225604425469192771956E-19					

1:
2:

>  sin(exthex('4000C90FDAA22168C235'))
=  -5.421 010 862 427 522 17E-20					

1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
14:
15:
16:
17:
18:
19:
20:
21:
22:
23:
24:
25:
26:
27:
28:
29:
30:
31:
32:
33:
34:
35:
36:
37:

function sinh(x: extended): extended;
  {-Return the hyperbolic sine of x, accurate even for x near 0}
var
  t: extended;
const
  t0 = 23.0;     {ceil(-0.5*ln(2^-64)) = ceil(32*ln(2))}
  t1 = 2.3E-10;  {~ sqrt(2^-64)}
begin
  t := abs(x);
  if t<=t1 then begin
    {sinh(x) = x*(1 + 1/6*x^2 + 1/120*x^4 + O(x^6))}
    sinh := x;
  end
  else begin
    {sinh(t) = 0.5*expm1(t)*(1+exp(-t) = 0.5*y(1+1/(1+y))}
    {        = 0.5*y*(2-y/(y+1)) = t-0.5*t*t/(1+t) with y = expm1(t)}
    if t<ln2 then begin
      t := expm1(t);
      t := t*(1.0-0.5*t/(1.0+t));
    end
    else if t<=t0 then begin
      {calculate inverse only if it is not too small}
      t := exp(t);
      t := 0.5*(t - 1.0/t);
    end
    else if t<ln_MaxExt then begin
      {t>t0: exp(t)-exp(-t) ~ exp(t)}
      t := 0.5*exp(t)
    end
    else begin
      {exp(t) would overflow, use small margin below overflow}
      t := exp(t-ln2);
    end;
    if x>0.0 then sinh := t
    else sinh := -t;
  end;
end;