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globale Festlegungen:
      Const Anzahl=3;
      var
            Form1: TForm1;
            Person:ARRAY[1..Anzahl]of string;

      procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);
      var i:integer;
      begin
          inc(Anzahl);
          Person[Anzahl]:=edit1.text;
          FOR i:=1 TO Anzahl DO listbox1.items.add(Person[i]);
      end;					

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//globale Festlegungen:
var
  Form1: TForm1;
  Person:ARRAY of string;
  Anzahl: Integer; // ggf. besser als ein Eigenschaft der Form, niht als globale Variable


// im FormCreate 
  Anzahl := 1;
  SetLength(Person, anzahl);

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);
var i:integer;
begin
  inc(Anzahl);
  SetLength(Person, anzahl); // Array vergrößern!
  Person[Anzahl-1] := edit1.text; // wichtig, dynamische Arrays fangen bei 0 an
  // besser auch noch: vorher ein
  Listbox1.Items.Clear 
  FOR i := 0 TO Anzahl-1 DO listbox1.items.add(Person[i]);
  // oder halt nur das letzte Item einfügen und den Rest so lassen
  // listbox1.items.add(Person[anzahl-1])
 end;