Moin,

Ich habe gerade einen Thread gelesen (der über PI und das formatieren der Eingaben usw.) und da ist mir was aufgefallen.
Die Zahl PI ist ja soweit ich weiss eine ireele Zahl, sprich sie hat sozusagen kein Ende. Zumindest glaube ich das irgendwann in der Unterstufe gelernt zu haben

Wenn dem aber so ist, dass die Zahl unendlich viele Nachkommastellen hat, dann ist das ein Fehler in der Mathematik.
PI wird ja benutzt um z.B. den Flächeninhalt eines Kreises zu berechnen.

Dadurch, dass PI überhaupt garkeinen genauen Wert hat, wird auch das Ergebniss der A = Pi*r² immer gerundet sein müssen. Der Flächeninhalt eines Kreises ist aber irgendein Wert, der endlich ist. Oder liege ich da falsch, und die Idee ist, die Punkt des Kreises immer genauer werden zu lassen? Ein 100%ig perfekter Kreis müsste dennoch einen endlichen Wert als Inhalt haben. Wie kann das sein?

Ich bin kein Crack in Mathe, aber Du beantwortest Dir deine Frage doch schon selbst. Es sind Nährungswerte. Wenn Du für PI 3 nimmst, erhälst Du auch einen Wert, der ist ungenau. Nimmst Du 3.14 so erhälst Du einen genaueren Wert und je mehr Nachkommastellen Du von PI verwendest, desto genauer und exakter ist das Ergebnis. Meistens reichen ja ein paar Nachkommastellen aus um einen Wert zu erreichen, der nahezu perfekt ist, aber syntaktisch richtiger wäre wohl ein "ungefähr"-Zeichen, statt eines Gleichheitszeichen, sofern PI verwendet wird.

Wenn man also so argumentiert, dann muss PI irgendwann aufhören. Und zwar dann, wenn der Kreis bis auf die Atome genau ist.

Also wen interessiert wie die ersten 10 Mio Stellen aussehen, guckt hier:

www.aip.de/~wasi/PI/Pibel/pibel_10mio.pdf


Wem 100.000 Zahlen reichen guckt da: pi314.at/math/100000digits.html


LG Felix

@karlson: Nein, PI wird niemals einen perfekten Kreis beschreiben, weil es nur ein Annährungsverfahren ist. Wird ja IMAO im Unterricht mit Rechtecken hergeleitet, die immer kleiner werden. Und je mehr, desto genauer. Theoretisch ließe sich ja auch ein Kreis mit einem Rechteck "abschätzen". PI wird nie einen perfekten Kreis beschreiben. Mathematiker mögen mir umgehend widersprechen, wenn dies nicht der Fall ist

((Im Folgenden ist "unendlich" als "unendliche viele Nachkommastellen" zu verstehen.))

Pi ist unendlich. Das kann und darf aber auch für den Kreisinhalt gelten.
Bei einem Kreis mit Radius 1 ist A = 3,1415926.... --> also Pi, und damit auch unendlich. Das ist doch auch kein Problem.

Aber die Folgerung, dass, wenn ein Operand einer Berechnung unendlich ist, es auch das Ergebnis der Berechnung sein muss, ist nur bedingt zulässig. Das (ungenaue!) Ergebnis der Berechnung kann unendlich sein, das eigentliche "wirkliche" Ergebnis muss es jedoch nicht unbedingt sein.

Beispiel:

Teile 10 durch 3 und du erhälst auch eine unendliche Zahl, nämlich 3,33333....

Jeder weiß nun, dass 3,33333.... x 3 wieder 10 ergibt. 10 wird aber (ohne Rundungen) nie herauskommen, weil man nie die ganze Zahl 3,33333.... zur Berechnnung wird heranziehen können. Man erhält als Ergebnis also nicht 10, sondern 9,99999.... Damit lebt man. Das heißt aber nicht, dass das eigentliche Ergebnis (also 10) nicht endlich wäre. Es ist endlich.

Genau so kann (muss aber nicht) der Inhalt eines Kreises endlich sein. Man wird nur (ohne Rundungen) nie auf das genaue Ergebnis kommen, weil man nie die ganze Zahl Pi zur Berechnung heranziehen kann.

Karlson hat folgendes geschrieben:

Wenn man also so argumentiert, dann muss PI irgendwann aufhören. Und zwar dann, wenn der Kreis bis auf die Atome genau ist.

Atome? Sind doch riesengroß. Aber selbst, wenn du die kleinsten bekannten Teilchen für deine Aussage hernimmst, stimmt sie nicht!

Weil, es geht rein theoretisch immer noch feiner. Die Mathematik kennt an dieser Stelle keine physikalischen Grenzen; sie rechnet quasi immer weiter.

Nimm ein Holzstück von exakt einem Meter Länge. Teile dieses Holzstück in 6 gleichlange Teilstücke (16,666..... cm) auf. Messe jetzt die Länge eines Teilstücks. Du wirst die Länge nie ganz genau messen. Selbst mit der feinsten Maßeinheit auf deinem Längenmessgerät wird das Ende des Teilstückes nie auf einem Strich liegen. Es bleibt immer etwas übrig, was mit einer noch kleineren Maßeinheit ermittelt werden muss.

Hierbei gilt auch: Irgendwann hat deine allerfeinste Maßeinteilung auf deinem Meßgerät nur noch die Ausmaße eines dem Menschen kleinsten bekannten Teiles. Du arbeitest schon mit Elektronen-Raster-Mikroskopen und dergleichen und bist eigentlich am Ende deiner Möglichkeiten angekommen. Das interessiert die Mathematik aber nicht! Du bist immer noch nicht auf das wirklich genaue Messergebnis gekommen. Kannst du auch nicht - ist ja unendlich.

Trotzdem ist dein Teilstück (das kleine Stück Holz in deiner Hand) klar begrenzt. Es geht von einem Ende bis zum anderen Ende. Aber die Zahlendarstellung dieser klar begrenzten Länge gelingt in diesem Fall nicht. Mit Pi ist es ebenso.

3rdnuss hat folgendes geschrieben:

Also wen interessiert wie die ersten 10 Mio Stellen aussehen, guckt hier: www.aip.de/~wasi/PI/Pibel/pibel_10mio.pdf

Ich hab alle Zahlen überprüft und an der 8.397.568-sten Stelle ein Fehler entdeckt. Da müßte eine 7 stehen

Der Vergleich von Zahlen wie 0,3333333 ... und PI ist meiner Meinung nach nicht ganz passend, da:

1. 0, Periode 3 sich als Bruch darstellen lässt und damit eine rationale Zahl ist. PI dagegen ist irrational

2. Ob man einen Masstab besitzt an dem man eine rationale Zahl genau abmessen kann liegt nur daran wie man den Masstab definiert. z.B.: Mach aus dem einen Meter Holz 6 Meter und du kannst 1/6 genau abmessen. Das ist bei irrationalen Zahlen aber niemals möglich, da sie keine Periode besitzen.

Deshalb schlage ich einen anderen Vergleich vor: nehmen wir die Wurzel aus 2. Diese ist ebenfalls irrational. Dennoch ergibt Wurzel 2 ins Quadrat eine genau Zahl die man mit endlich vielen Dezimalstellen darstellen kann.

Der Kern des ganzen ist generell die gewählte Darstellung. Pi z.B.: lässt sich durch eine Reihe darstellen :

pi = 4*(1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+1/13 ... -1/(n-2) + 1/n ; n ungerade

Und auch wenn man damit nicht leicht umgehen kann ist es dennoch mathematisch betrachtet ein exakter Wert.

Karlson hat folgendes geschrieben:

Die Zahl PI ist ja soweit ich weiss eine ireele Zahl, sprich sie hat sozusagen kein Ende.

Erstens mal zu Pi selbst: Pi ist eine theoretische Zahl. Sie ist irrational - hat also unendlich viele Nachkommastellen. Aber Achtung! Pi ist eine reelle Zahl und hat einen ganz bestimmten Wert!

Karlson hat folgendes geschrieben:

Wenn dem aber so ist, dass die Zahl unendlich viele Nachkommastellen hat, dann ist das ein Fehler in der Mathematik.

In der Mathematik gibt es prinzipiell keine Fehler. Definition, Satz, Beweis, Definition, Satz, Beweis.

Karlson hat folgendes geschrieben:

Dadurch, dass PI überhaupt garkeinen genauen Wert hat, wird auch das Ergebniss der A = Pi*r² immer gerundet sein müssen.

Pi hat einen genauen Wert und A = pi*r^2 muss nicht zwingend irrational sein.

Karlson hat folgendes geschrieben:

Ein 100%ig perfekter Kreis müsste dennoch einen endlichen Wert als Inhalt haben. Wie kann das sein?

Du verwendest das Wort "endlich" falsch. Ein Kreis mit einem endlichen Radius hat auch immer eine endliche Fläche, die Fläche kann aber irrational sein, muss aber nicht. Um also deine Frage zu beantworten: Die Fläche eines Kreises muss nicht rational sein, genau so wie die Länge einer Linie nicht rational sein muss. Man nehme einen Kreis mit Fläche 1, dann ist der Radius (eine Strecke) irrational.

Übrigens: Ob eine rationale Zahl unendlich viele Nachkomastellen hat oder nicht hängt vom verwendeten Zahlensystem ab: Was "0,8" im Zehnersystem ist, ist im Binärsystem "0,110011001100..." und im Oktalsystem "0,631466314663146...". Ob man also eine Zahl vollständig auf ein Blatt schreiben kann oder nicht ist eigentlich irrelevant. (Um es aber vorwegzunehmen: Pi hat in jedem Zahlensystem unendlich viele (nicht periodische) Nachkommastellen)

Dass man prinzipiell keine "perfekten Kreise" auf ein Blatt zeichnen kann (wegen den Atömchen) hat nichts mit dem Problem zu tun.

Und zum Schluss noch die übliche Definition der Mathematiker:

Zitat:

Sei f eine Funktion, für die gilt: f"=-f und f(0)=0. Dann ist Pi die kleinste positive, reelle Zahl für die gilt f(x)=0.

delfiphan hat folgendes geschrieben:

In der Mathematik gibt es prinzipiell keine Fehler. Definition, Satz, Beweis, Definition, Satz, Beweis.

@delphiphan: Sorry, aber das ist nicht wahr. Kurt Gödel (1906-1978) hat in seiner Dissertation den Beweis erbracht, das es nicht möglich ist, aus den Axiomen der Mathematik heraus die Widerspruchsfreiheit dieser Axiome zu beweisen.

Außerdem stützen sich viele Arbeiten in der Mathematik auf eine Vermutung. Die erziehlten Ergebnisse sind nur gültig, wenn diese Vermutung richtig ist. Aber die Vermutung wurde noch nicht bewiesen: Die Riemannsche Vermutung.

Lit: Marcus du Sautoy, Die Musik der Primzahlen - Aufden Spuren des größten Rätsels der Mathematik, C.H.Beck ISBN 3 406 52320 X

Okay, das stimmt schon. Die Axiome nimmt man einfach mal an und geht davon aus, dass diese wahr sind. Aber wenn man nicht davon ausgehen kann, dass die Welt widerspruchsfrei ist, was kann man denn überhaupt machen? Gar nichts.

// Edit: Die Riemannsche Vermutung hat doch nicht im Geringsten mit der ganzen Sache zu tun. Es baut nichts auf der Riemannschen Vermutung auf. Meines Wissens auf jeden Fall nichts Wichtiges. Für die korrekte/sinnvolle Definition von Pi braucht man schlussendlich nur die 5 Axiome und einen Haufen anderer Definitionen.

Alni hat folgendes geschrieben:

1. 0, Periode 3 sich als Bruch darstellen lässt und damit eine rationale Zahl ist. PI dagegen ist irrational 2. Ob man einen Masstab besitzt an dem man eine rationale Zahl genau abmessen kann liegt nur daran wie man den Masstab definiert. z.B.: Mach aus dem einen Meter Holz 6 Meter und du kannst 1/6 genau abmessen. Das ist bei irrationalen Zahlen aber niemals möglich, da sie keine Periode besitzen.

Zustimmung.
Doch wollte ich weniger die wissenschaftliche Klärung von Pi betreiben (was mittlerweile in diesem Thread der Fall zu sein scheint) , sondern ich wollte Karlsons "Theorie" widerlegen, dass, sobald an einer Berechnug eine Zahl mit unendlich vielen Nachkommastellen beteiligt ist, auch das Ergebnis (z.B. die Kreisfläche) nie exakt ermittelt werden könne. Ebenso wollte ich gegen Karlsons These angehen, die Teilchenphysik würde die Unendlichkeit der Nachkommastellen in der Mathematik begrenzen können.

Dazu taugten meine Beispiele. Ebenso wie

Alni hat folgendes geschrieben:

nehmen wir die Wurzel aus 2. Diese ist ebenfalls irrational. Dennoch ergibt Wurzel 2 ins Quadrat eine genau Zahl die man mit endlich vielen Dezimalstellen darstellen kann.

In meiner "Beweisführung" war also wurscht, ob eine Zahl mit unendlich vielen Nachkommastellen irrationaler oder rationaler Natur ist.

Kern von Karlsons Irrtum ist m.E. eigentlich seine Fehlinterpretation von unendlich vielen Nachkommastellen in der Mathematik.

Denn:

Alni hat folgendes geschrieben:

Und auch wenn man damit nicht leicht umgehen kann ist es dennoch mathematisch betrachtet ein exakter Wert.

So isses.

delfiphan hat folgendes geschrieben:

Die Axiome nimmt man einfach mal an und geht davon aus, dass diese wahr sind. Aber wenn man nicht davon ausgehen kann, dass die Welt widerspruchsfrei ist, was kann man denn überhaupt machen? Gar nichts.

Das ist nicht der Punkt. Es wurde der Beweis erbracht, das nicht bewiesen werden kann, das keine Widersprüche existieren! Wenn keine Widersprüche (Fehler) bekannt sind, heißt das noch lange nicht dass keine Widersprüche existieren. Und als Abfallprodukt wurde bewiesen, dass nicht alle richtigen Aussagen beweisbar sind. Deshalb stimmt es nicht, das in der Mathematik alles auf bewiesenen Sätzen beruht.

wdbee hat folgendes geschrieben:

Deshalb stimmt es nicht, das in der Mathematik alles auf bewiesenen Sätzen beruht.

Da hattest du ja auch recht. Ohne Annahmen kann man keine Folgerungen machen. Den Axiomen muss man einfach glauben.
Ich korrigiere mich also: In der Mathematik gibt es prinzipiell keine "Fehler" wenn man den Axiomen glaubt, und wenn wir von einer widerspruchsfreien Welt ausgehen.
Ich wollte ursprünglich mit dem Satz eigentlich eher sagen, dass es in der Mathematik keine solchen Ungenauigkeiten oder Unklarheiten gibt, wie von Karlson behauptet bzw. in Frage gestellt. Er schliesst von einer "ungenauen Notation" auf einen Fehler in der Mathematik.

Ist das nicht eigentlich das schöne an Mathe? Das alles wahr ist, da alles von Menschenhand definiert ist und somit gültig? (mein Mathestand: einjährige FachOberschule, also nicht übers differentieren und (eingeschränktes) Integrieren hinaus, habe da also leider nicht wirklich viel Ahnung ) Nicht so wie in Physik oder (*schauder*) Chemie, mit den ganzen Ausnahmen und ähnlichem? Die Konstanten in der Physik sind etwas Zahlreicher als die in der Mathematik (Gravitationskonstante, Masse eines Elektrons, Universelle Gaskonstante, ...) Leider richtet sich die Natur nicht danach, was man mathematisch elegant bescheibene kann. Die Mathematik ist eben nur ein Model...

MfG Zemy

Kurz zusammengefasst: Es haben alle Recht bis auf Karlson *spass*

Hallo Leute,

Ich habe jetzt viel gelesen, aber ich glaube ich habe mich teilweise falsch ausgedrückt. Bitte

Mir gehts eigentlich nur darum: Ein Kreis hat einen Flächeninhalt. Der Flächeninhalt kann schließlich nicht irrational sein.(Ich glaube hier liegt mein fehler?), denn für mich ist eine irrationale Zahl eine nicht eindeutige Zahl. Je weiter man hinters Komma geht, desto genauer mag sie werden, doch man kann sie nie 100% beschreiben, außer mit einem Bruch, wobei ein Bruch ja auch keine Zahl im wirklichen Sinne ist. PI könnte man ja auch als ~ 78,53981634/25 darstellen. Ein Bruch ist ein Term für dessen anzeige als normale Zahl immernoch eine Rechenoperation nötig ist.
Ich gehe jetzt aber davon aus, dass der Flächeninhalt eines Kreises eine rationale Zahl sein muss. Denn ansonsten würde sich sein Flächeninhalt ja verändern (Bewegung der Atome?).

Da PI aber irrational ist, können wir nie den genauen Flächeninhalt ausrechnen. Denn je genauer wir für PI werden, wird sich auch immer sein Flächeninhalt ändern. Und da wir theoretisch PI unendlich lange genauer werden lassen können, werden wir auch unendlich lange einen anderen Wert für den Flächeninhalt rausbekommen. Zwar einen immer genaueren, aber nie den Endwert!

Wo liegt der Fehler meiner annahmen?

delfiphan hat folgendes geschrieben:

Ich korrigiere mich also: In der Mathematik gibt es prinzipiell keine "Fehler" wenn man den Axiomen glaubt, und wenn wir von einer widerspruchsfreien Welt ausgehen.

Leider ist die Welt aber nicht widerspruchsfrei. Die Frage Cantors: Gibt es eine unendliche Menge von Zahlen, die größer ist als die Menge aller Brüche, aber kleiner als die Menge der reellen Zahlen, einschließlich der irrationalen Zahlen wie PI? Cohen konnte ausgehend von den selben Axiomen zwei korrekte Beweise liefern, der eine liefert die Antwort JA der andere NEIN! Lit. siehe oben.

Karlson hat folgendes geschrieben:

denn für mich ist eine irrationale Zahl eine nicht eindeutige Zahl.

Hä? Das musst du mal erklären? Pi ist doch eindeutig bestimmt! Nur, weil du die Zahl nicht aufs Papier schreiben kannst und weil sie unendlich viele Nachkommastellen hat, heißt das doch nicht, dass die Zahl nicht eindeutig bestimmt ist. Ebenso ist es mit dem Flächeninhalt: Dieser ist exakt bestimmt, auch wenn du den Flächeninhalt nicht "komplett" aufschreiben kannst. Daher kannst du ja auch für den Flächeninhalt ein Produkt "aus einer Zahl und Pi" schreiben.

Karlson hat folgendes geschrieben:

Ich gehe jetzt aber davon aus, dass der Flächeninhalt eines Kreises eine rationale Zahl sein muss. Denn ansonsten würde sich sein Flächeninhalt ja verändern (Bewegung der Atome?).

Wieso verändert sich denn dann der Flächeninhalt? Könntest du das irgendwie "besser" umschreiben. Ich - z.B. - kann dein Problem nicht wirklich verstehen.