 AXMD hat folgendes geschrieben  : |
| Aber ab hier geht's nicht mehr weiter. |
Aus den zwei Gleichungen werden nicht plötzlich eine Gleichung, denn sie enthalten nicht die gleiche Aussage. Man kann eine Gleichung anhand der anderen Gleichung umformen. Das macht die erste Gleichung simpler, aber definiert immer noch keine Menge, bzw. nur implizit. Die Lösung müsste a=... b=... c=... lauten.
Deine Aufgabe ist eine Standardaufgabe und lässt sich so lösen. Du hast ein Gleichungssystem:
A*x=b
Falls A vollen Rang hat, also invertierbar ist, hast du gleich viele unbekannte wie unabhängige Gleichungen. Der Fall sollte dir bekannt sein... Falls A nicht invertierbar ist, löst du das Problem in zwei Schritten. Zuerst bestimmst du den Kern von A und findest dann eine partikuläre Lösung für x. Dann fügst du die zusammen und hast die allgemeine Lösungsmenge.
Um den Kern von A zu berechnen löst du A*x=0, setzst also die rechte Seite erst mal gleich null. Danach suchst du irgend eine partikuläre, willkürliche Lösung x0. Nicht die allgemeine Menge, sondern irgend eine, die passt... Konkret heisst das: Wenn du mehr Unbekannte als Gleichungen hast, setzst du für einige Unbekannte irgendwelche Werte ein (meistens klappt's mit 0 einsetzen) und löst das restliche, eindeutig gewordene Gleichunggssystem.
Zusammengefasst machst du folgendes:
- Suche die allgemeine Lösung, wenn die rechte Seite 0 wäre, d.h. alle x in Menge X, mit A*x=0
- Suche eine partikuläre Lösung x0, mit A*x0=b
Wenn du das gemacht hast, hast du dann eine Menge X und ein Vektor x0:
A*x=0 für x in X
A*x0=b
zählst beide Gleichungen zusammen und hast:
A*x+A*x0=b für alle x in X
Umgeformt:
A*(x+x0)=b für alle x in X
Wie du sehen kannst ist "x*x0 für alle x in X" die gesuchte Lösung.
Die Lösungsmenge X ist übrigens ein Unterraum, d.h. eine Gerade oder Ebene, die durch 0 geht. Daher ist die Lösung "x+x0 für x in X" eine verschobene Gerade oder verschobene Ebene, die im Allgmeinen nicht durch 0 geht.
Ich habs mal in Matlab gelöst.
A =
1 + 1i 1 + 1i 1 + 1i
0 + 0i -0 - 1i -1 - 1i
0 + 0i 0 + 0i 0 + 0i
b =
0
i
0
Kern berechnen:
null(A) =
-1 + 0i
1 + 1i
0 - 1i
eine partikuläre Lösung wäre x0=[0;i;-i]. Erhältst du in dem du einfach mal z.B. a=0 setzst und das restliche Gleichungssystem (2 Gleichungen, 2 Unbekannte) löst.
Somit ist die gesuchte Lösung [-1;1+i;-i]*p+[0;i;-i], bzw. ausgeschrieben:
a = -p
b = (1+i)*p+i
c = -i*p-i
für alle p in C
Setzen wir mal bspw. p = 8 ein zum Überprüfen...
a = -8
b = 8+8i+i
c = -8i-i
Eingesetzt:
(i+1)*-8+(i+1)*(8+8*i+i)+(i+1)*(-8*i-i) = 0 (erste Gleichung ok)
-i*(8+8*i+i)-(i+1)*(-8*i-i) = i (zweite Gleichung ok)
So. Das wäre der eher formale Weg. Alternativ könnte man auch zwei beliebige partikuläre Lösungen finden und diese durch eine Gerade verbinden. Müsste man wohl aber dann erläutern weshalb...
