Hallo,

Ich lerne gerade Mathe. Wir schreiben am Dienstag ne Klausur und ich bin der totale Matheversager (4 pkt...)

Also ich hab hier eine Frage zu Vektorzügen bzw. Teilverhältnissen:

Aufgabenstellung:

Verbindet man eine Ecke eines Parallelogramms mit den Mitten der nicht anliegenden Seiten, so dritteln diese Strecken die sie schneidende Diagonale.

Hier mal eine Skizze:

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So weit bin ich:

Zu zeigen ist ja dass: AX = 1/3*AC

X = b + DX
-> b + DX - x = 0

x ist ja aber nichts anderes als: x = n*(a+b) (1/3 AC anders geschrieben).

-> b + DX - n(a+b) = 0.
(Für n muss dann 1/3 rauskommen hinterher).

So, ich muss jetzt nur den Vektor DX mithilfe von a und b kombinieren. Weil das Bild ja in der Ebene ist müssten a und b linear unabhänig sein, wodurch es nur die triviale Lösung gibt, und ich dann durch ausklammern von a und b an die Gleichungen komm um n bzw. das m dann später auszurechnen.)

Ich komme aber nicht weiter wie das geht.
Ich habe einen Freund gefragt, und der hat im Lösungsbuch gelesen, dass die DX mit m*(1/2a - b) kombinieren.
m ist der Vektor zum Mittelpunkt von a (siehe Skizze), bzw irgendein Faktor.
(für m muss dann 1/2 rauskommen).

Ich weiss aber absolut nicht wie die darauf kommen, denn m müsste doch 1/2a sein...kann mir das bitte jemand erklären? Es gibt doch so mathecracks hier

Noch zu meiner Schreibweise: Die grossgeschriebenen Buchstaben sind die Punkte. Also z.B. X ist der Punkt X, während das kleingeschriebene x der Ortsvektor ist. Afaik ist das die standartschreibweise, sollte also verständlich sein.

Ohne deinen Lösungsweg versucht zu haben zu verstehen; ich würde so argumentieren: Betrachte den Fall im Einheitswürfel: Die Gerade y=1-2x schneidet die Gerade y=x im Punkt x=1/3 (x=1-2x => x=1/3). Damit wäre die Sache im Einheitswürfel bewiesen. Das Verhältnis Diagonale zur drittel der Diagonale bleibt bei einer linearen Transformation erhalten. Das ist trivial, da die euklidische Norm auch linear ist. Mit einer linearen Transformation kannst du den Einheitswürfel in jedes Parallelogram transformieren. Deswegen gilt die Behauptung für jedes Parallelogramm (sofern nicht 2 Kanten zusammenfallen).
Bin mir allerdings nicht sicher, ob dir dieser Beweis viel bringt.

Naja, das hört sich zwar sehr intressant an, aber allzuviel nützt es mir nicht Es geht ja eigentlich nur um Teilverhältnisse, der Beweis ist wurscht. Trotzdem danke für die Mühe.

Zitat:

Verbindet man eine Ecke eines Parallelogramms mit den Mitten der nicht anliegenden Seiten, so dritteln diese Strecken die sie schneidende Diagonale.

War das nicht zu beweisen?