@Karlson du musst weg von der Vorstellung kommen dass nur Zahlen die sich als endlichen Dezimalbruch darstellen lassen auch eindeutig sind. Wie schon delphifan gesagt hatte sind rationale Zahlen je nach Zahlensystem einmal als endlicher Dezimalbruch darstellbar und in dem anderen System wieder nicht. Pi dagegen ist irrational. Und irrational bedeutet nichts anderes, als dass es in keinem Zahlensystem einen endlichen Bruch (dezimal oder nicht) gibt mit dem sich die Zahl exakt darstellen lässt. Ein endlicher Bruch, sei es 1/3 ist eine absolut exakte Zahl. Die Fläche eines Kreises kann sowohl irrational als auch rational sein. Wichtig ist aber, dass das mathematische Modell des Kreises nichts mit einem real existierenden Objekt zu tun hat oder zu tun haben muss. Es gibt in der Natur keinen exakten Kreis und in der Mathematik spielen einzelne Atome keine Rolle.

Karlson hat folgendes geschrieben:

Denn ansonsten würde sich sein Flächeninhalt ja verändern (Bewegung der Atome?).

Diesen Gedanken kann ich jetzt nicht nachvollziehen

Abgesehen davon Pi ist eine exakte Zahl auch wenn man sie nicht als Bruch darstellen kann.

Nimm als Beispiel die Gleichung : sqr(x)=2 . Diese hat genau 2 Lösungen und beide sind mathematische betrachtet exakt (+-sqrt(2)). Der Mangel an passender Darstellungsformen für irrationale Zahlen macht sie nicht weniger genau. Eine solche Zahl wird erst dann und nur dann ungenau wenn man sie als Bruch schreiben möchte. Du hast also insofern Recht wenn du behauptest die irrationale Fläche eines Kreises lässt sich niemals exakt als dezimalbruch bestimmen.

@Karlson
Du widerrufst dich irgendwie ständig selber.

Karlson hat folgendes geschrieben:

Da PI aber irrational ist, können wir nie den genauen Flächeninhalt ausrechnen. Denn je genauer wir für PI werden, wird sich auch immer sein Flächeninhalt ändern. Und da wir theoretisch PI unendlich lange genauer werden lassen können, werden wir auch unendlich lange einen anderen Wert für den Flächeninhalt rausbekommen. Zwar einen immer genaueren, aber nie den Endwert!

Korrekt.

Karlson hat folgendes geschrieben:

Ein Kreis hat einen Flächeninhalt. Der Flächeninhalt kann schließlich nicht irrational sein.

Möglicherweise fehlt mir jetzt deine Definition von irrational, doch ich schrieb schon zuvor: Bei einem Kreisradius von 1 cm beträgt seine Fläche Pi cm². Da ist sie dann wieder, die Zahl mit den unendlich vielen Stellen hinter dem Komma. Die Flächenangabe ist dadurch doch sehr wohl irrational, oder nicht?

wdbee hat folgendes geschrieben:

Leider ist die Welt aber nicht widerspruchsfrei

Wenn ein Axiomsystem versagt heisst das bloss, dass das Axiomsystem inkonsistent ist. Du kannst von irgend einer Theorie nicht auf unsere Welt schliessen! Ich hab angenommen, dass die Welt widerspruchsfrei ist. Das ist eine philosophische Annahme.
(Zu Gödel und Cohen. Ich hab soeben nachgeschaut: Man kann mit den üblichen Axiomen weder beweisen noch widerlegen dass es eine Teilmenge von R gibt, die mehr Elemente hat als N aber weniger als R selbst.)
Vielleicht verschieben wir das Topic auf PM, wenn wir weiterdiskutieren wollen.

Ich finde diese Diskussion mit der Fläche eines Kreises und der Irrationalität von Pi(*) auch noch aus anderer Sicht sehr schön: Sie zeigt uns unsere Grenzen:

Wir können mit der Mathematik und unserem Verstand so viele Dinge erreichen. Wir können Flugzeuge bauen, ja sogar ins Weltall fliegen. Wir können Informationen in Sekundenbruchteilen um die ganze Welt schicken, und mit Leuten reden, die am anderen Ende der Welt sitzen und und und.
Aber ein Problem, das wir nicht wirklich lösen können, ist die ganz einfache Aufgabe, den Flächeninhalt eines Kreises anzugeben, der einen Radius von 1 hat (Einheit ist egal, m, km, inch, elle,...). Alles was uns mit unserer ach so überragenden Mathematik übrigbleibt ist, dafür ein neues Symbol einzuführen. Und dann zu behaupten, der Flächeninhalt dieses Kreises mit Radius 1 sind diese zwei kleinen senkrechten Striche mit nem Dach drüber.

Bei sowas kommt dann IMO die philosophische, fast religiöse Seite der Mathematik zum Vorschein.

btw.: Was ich auch recht interessant finde, ist die Argumentation von Archimedes(?), warum selbst der schnellste Läufer der Welt keine Schildkröte einholen kann, wenn sie nur 10 Meter Vorsprung hat. Hat auch direkt mit "unendlichen Zahlen" zu tun...


(*) Ich kann das hier nicht beweisen, aber Pi ist nicht nur irrational, sondern sogar tranzendent über den rationalen Zahlen. D.h. es gibt kein Polynom (a*x^n + b*x^(n-1) + ...) mit rationalen Koeffizienten, so dass Pi eine Nullstelle des Polynoms ist. Sqrt(2) ist nicht rational, aber nicht tranzendent, denn Sqrt ist eine Nullstelle von p(x)=x^2-2

Gausi hat folgendes geschrieben:

Aber ein Problem, das wir nicht wirklich lösen können, ist die ganz einfache Aufgabe, den Flächeninhalt eines Kreises anzugeben, der einen Radius von 1 hat (Einheit ist egal, m, km, inch, elle,...).

Es handelt sich hier nicht um ein unlösbares Problem! Ich definiere dir gleich eine Einheit, die das kann: Die delfiphansche Pi-Einheiten! Gib alles in Pi-Einheiten an, dann geht's doch. Dass es im Dezimalsystem nicht geht, ist halt einfach Pech!

Um zu Karlson zurückzukommen:
Das mathematische Pi ist genau definiert, wie eigentlich alle hier behaupten. Das "Pi im Computer" aber ist auf so und so viele Stellen gerundet. Wenn du einen Einheitskreis hast, stimmt es, dass man die Fläche nicht exakt in einem Float speichern kann; und wenn man anstatt Single precision Double precision nimmt, ist das ganze besser. Wenn man aber von Pi spricht ist das eine ganz bestimmte Zahl, sie verändert sich nicht und sie ist keine Näherung von etwas anderem.

Karlson hat folgendes geschrieben:

Der Flächeninhalt kann schließlich nicht irrational sein

Du stellst dir vielleicht einen Flächeninhalt vor und siehst dabei Atome vor dir. Du denkst vielleicht deswegen, dass ein Flächeninhalt nicht irrational sein kann. Die Mathematik ist aber viel mächtiger: Du kannst einen Kreis definieren, dessen Flächeninhalt irrational ist. Einen solchen Kreis kannst du dir in der realen Welt nicht basteln (ganz abgesehen davon wirst du überhaupt keinen Kreis jemals exakt zeichnen können).

Karlson hat folgendes geschrieben:

denn für mich ist eine irrationale Zahl eine nicht eindeutige Zahl. Je weiter man hinters Komma geht, desto genauer mag sie werden

Ich kanns nur wiederholen: Eine irrationale Zahl ist eindeutig. Man kann sie aber mit Kommastellen nicht exakt auf ein Blatt schreiben. Du siehst das ganze zu praktisch...

Karlson hat folgendes geschrieben:

Ich gehe jetzt aber davon aus, dass der Flächeninhalt eines Kreises eine rationale Zahl sein muss. Denn ansonsten würde sich sein Flächeninhalt ja verändern (Bewegung der Atome?).

Es bewegt sich überhaupt nie was. Wenn der Flächeninhalt des Einheitskreises Pi ist, dann ist er exakt Pi. Der Flächeninhalt ist nur ungefähr 3.14, ungefähr 3.141 und ungefähr 3.1415. Aber exakt Pi.

Karlson hat folgendes geschrieben:

Da PI aber irrational ist, können wir nie den genauen Flächeninhalt ausrechnen

Du kannst Pi nicht exakt in einem Float abspeichern, korrekt. Ist aber der Radius eines Kreises theoretisch 1/sqrt(pi), dann ist der Flächeninhalt exakt 1. Das kann man dann sehr wohl auf ein Blatt schreiben (ich habs soeben getan ).

Karlson hat folgendes geschrieben:

Und da wir theoretisch PI unendlich lange genauer werden lassen können

Wie gesagt muss du dich von der Vorstellung lösen, dass da etwas "immer genauer" wird. Pi ist fest und man kann sich der Zahl nähern aber wenn man sagt, dass etwas Pi ist, dann ist es eben Pi.

delfiphan hat folgendes geschrieben:

Es handelt sich hier nicht um ein unlösbares Problem! Ich definiere dir gleich eine Einheit, die das kann: Die delfiphansche Pi-Einheiten! Gib alles in Pi-Einheiten an, dann geht's doch. Dass es im Dezimalsystem nicht geht, ist halt einfach Pech!

Das geht auch nicht. Ein Kreis mit dem Radius 1 PiE (Pi-Einheit) hat die Fläche Pi PiE^2. Du bist keinen Schritt weiter. Die Einheit PiE hat ja nichts mit der Kreiszahl zu tun.

Ich definiere: 1 PiE := pi (ist ja eigentlich nur eine billige Umbenennung)
Flächeninhalt des Kreises mit Radius 1 ist dann exakt 1 PiE.
Oder um es ein bisschen spannender zu machen. Ich definiere 1 PM := pi*m^2.
Flächeninhalt des Kreises mit Radius 1 m ist dann 1 PM.
Denn: (1m)^2*pi = 1^2*m^2*pi = m^2*pi = 1 PM

Du benennst nur Sachen um. Du kannst nicht (oder hast es bisher nicht), in einem Zahlensystem den Flächeninhalt eines Kreises exakt angeben, ohne dafür ein neues Symbol einzuführen.

Versuch mal ein endliches System zur Darstellung der reellen Zahlen zu finden (binär, dezimal, meinetwegen probier "pinär"), so dass du alle Zahlen exakt darstellen kannst. Es wird nicht gehen. Es wird immer Elemente geben, die du nur indirekt angeben kannst (2*pi, 3*pi, pi+2, sqrt(2),...) oder solche, für die du ein neues Symbol benötigst (Pi, e, etc.)

@Gausi:
Ich wollte dich bloss kontern. Du hast nämlich gesagt die Einheit sei egal, also darf ich auch einen irrationalen Umrechnungsfaktor haben. Dass ich das jetzt plötzlich nicht mehr darf, scheint mir merkwürdig. Übrigens: Dass man pi in keinem Zahlensystem exakt darstellen kann, das steht schon in meinem ersten Post drin.
PS: "1" auch nur ein Symbol. Es ist das Symbol für das neutrale Element der Multiplikation. Und die Zahl 1/5 kannst du auch nur indirekt angeben, nämlich "0,2". Glück gehabt, dass man das mit dieser willkürlichen Schreibweise überhaupt kann!
Gruss

Ich glaube, dann haben wir aneinander vorbeigeschrieben. Was ich meinte mit "Einheit ist egal" ist, dass es egal ist, ob der Kreis nun 1 Meter oder 1 "Gausis linker Ringfinger" als Radius hat. Wenn man den Flächeninhalt des Kreises in diesem beliebigen (aber dann festen) Einheitensystem angeben will, bekommt man Probleme. Dass man durch umdefinieren von Einheiten das wieder wegdiskutieren kann, ist eine andere Sache.

Ich bin jetzt mit mir überein gekommen, dass PI keine unendlich lange Zahl ist, sondern nur von unserem Zahlensystem nur irational angezeigt werden kann. Stimmt das jetzt wenigstens so?

Karlson hat folgendes geschrieben:

Ich bin jetzt mit mir überein gekommen, dass PI keine unendlich lange Zahl ist, (...) Stimmt das jetzt wenigstens so?

Ich fürchte nein.

Sorry Leute,
aber ich frage mich warum ihr nicht besseres zu tun habt, als sich über irgendwelche Zahlen den Kopf zu zerbrechen. Das mit Pi is doch wurscht, wir leben doch so schon immer...
Sorry sollte net bös gemeint sein!!!

Gruß
PhilGo

Die Definition von irrational ist unabhängig vom Zahlensystem. In jedem Zahlensystem ergibt Pi unendlich viele Nachkommastellen. Das Problem ist folgendes. Stell dir die Zahlengerade vor:

Ganze Zahlen kannst du durch eine einzige Zahl darstellen, ohne Nachkommastellen. Z.B. -1, 0, 1, 2, 3.
Um eine beliebige rationale Zahl angeben zu können brauchst du i.a. hingegen schon 2 ganze Zahlen. z.B. 2/3, 4/5.

Mit den rationalen Zahlen erreichst du fast alle Zahlen auf der Zahlengerade. Aber nicht alle, denn mit bloss 2 ganzen Zahlen kannst du nicht eine ganze, kontinuierliche Zahlengerade abdecken. Wieso? Es gibt abzählbar unendlich viele ganze Zahlen, und auch abzählbar unendlich viele rationale Zahlen (abzählbar heisst, dass du die Zahlen ordnen und durchnummerieren könntest).
Bei einer kontinuierlichen Gerade geht das aber nicht: Die Menge der irrationalen Zahlen ist nicht abzählbar (sie ist "überabzählbar"). Du kannst die Punkte auf einer Geraden nicht durchnummerieren! Da hast du keine Chance. Es gibt viel, viel, viel mehr irrationale Zahlen als rationale Zahlen! Du kannst deshalb eine irrational i.a. nicht durch 1 oder 2 ganzen Zahlen angeben, sondern da brauchst du unendlich viele!
Pi ist so eine irrationale Zahl. Wenn du die "Koordinate" von Pi auf der Zahlengeraden mit ganzen Zahlen angeben willst, brauchst du unendlich viele davon. Da kommst du nicht drum herum.
Da man also wie gesagt Pi durch die üblichen Symbole "1", "2", "3", usw. nicht vollständig bzw. exakt angeben kann, führt man eben einfach ein neues Symbol ein: Pi.

delfiphan hat folgendes geschrieben:

Mit den rationalen Zahlen erreichst du fast alle Zahlen auf der Zahlengerade.

Wenn wir hier schon mit Begriffen wie abzählbar und überabzahlbar um uns schmeißen, dann ist diese Aussage falsch oder zumindest verwirrend. "Fast alle" bedeutet in aller Regel "alle bis auf endlich viele". Es gibt aber unendlich viele relle Zahlen, die nicht rational sind. Sogar überabzählbar viele.

PhilGo hat folgendes geschrieben:

Sorry Leute, aber ich frage mich warum ihr nicht besseres zu tun habt, als sich über irgendwelche Zahlen den Kopf zu zerbrechen. Das mit Pi is doch wurscht, wir leben doch so schon immer...

Natürlich ist das gewissermaßen wurscht. Aber was glaubst du wohl, wieviele alltägliche Dinge darauf beruhen, dass irgendwelche bekloppten Mathematiker über Zahlen und Formeln gegrübelt haben? Weisst du eigentlich, was für ein Haufen Mathematik dahinter steckt, wenn bei Hipp Babynahrung konserviert wird? Ich hab da mal nen Vortag gehört, und nach 5 Minuten bin ich gedanklich ausgestiegen.

Fast alle war natürlich nicht im mathematischen Sinne gemeint. Mir fiel kein besserer Ausdruck ein. Und da das kein Mathematikforum ist, dachte ich nicht, dass es jemand kratzen würde . Aber du hast natürlich absolut recht!

ja, ich habs ja auch nur erwähnt, weil du andere Begriffe in dem Zusammenhang gebracht hast, die durchaus mathematisch sind. Nicht jedem dürfte z.B. klar sein, dass es unterschiedliche Varianten von "unendlich viel" gibt.
Es ist z.B. auch so, dass es genau soviele rationale Zahlen gibt (Brüche), wie natürliche Zahlen (1,2,3,4,5,...). Aber es gibt mehr reelle Zahlen. Obwohl es von allen 3 Zahlenarten unendlich viele gibt, und es anschaulich mehr Bruchzahlen als ganze Zahlen gibt, haben zwei davon gleich viele Elemente, und die dritte mehr als die beiden zusammen

Danke DeCodeGuru,

endlich kommt jemand zum Punkt:

eine irrationale Zahl ist eh eindeutig, sie hat halt nur unendlich viele Kommastellen aber deswegen ist sie ja keine Schätzung ?!!

Also: Um sich den Schreibaufwand zu ersparen, schreibt man einfach 'Pi' und nicht die Zahl (weil's eh nicht geht)!

der genaue Flächeninhalt eines Kreises mit Radius=2 cm entspricht ganz genau 4*Pi cm ... und das ist eine EINDEUTIGE Zahl !!!!!!!

und will man dies als Zahl schreiben muss man auf die benötigte Genauigkeit runden.

und 9.99999999999999999999999.... periodisch ist genau gleich 10, da der Unterschied logischerweise unendlich klein, also 0, ist !!!!

liebe Grüße Edi