1:
2:

x + y = 24m/15s = 8m/5s
x - y = 2m/15s  = 8m/60s                    

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19:

A: U = 2*42 + 2*y
B: U = 2*(42:3) + 2*x
C: U = 2*(42:3) + 2*x
D: U = 2*(42:3) + 2*x

2*42 + 2y = 2*14 + 2x
x+y = 42

x = 42 - y

84 + 2y = 28 + 84 - 2y /84 kürzt sich raus /+2y

4y = 28 /:4

y = 7

x = 35

Umfang: 98cm                    

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16:

geg:
  f(x) = sin(x);
  g(x) = cos(x) + c | c element R;
  f'(x0) = g'(x0)
  && f(x0) = g(x0);  //Definition eines Berührpunktes: selbe Steigung im Schnittpunkt
Rechnung:
    f'(x0) = g'(x0);
<=> cos(x0) = -sin(x0);
<=> sin(x0) / cos(x0) = tan(x0) = -1;
<=> x0 = arctan(-1);  //Taschenrechner spuckt nur erste Lösung aus, aus der Periode von Tangens und sin/cos folgt die zweite Lösung mit arctan(-1) + pi

    f(x0) = g(x0);
<=> sin(x0) = cos(x0) + c;
<=> c = sin(x0) - cos(x0);
<=> c = sin(arctan(-1) + (0.5 +- 0.5)pi) - cos(arctan(-1) + (0.5 +- 0.5)pi);
    c = +-Sqrt(2);                    

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19:

2*sin(x)*cos(x) =

  exp(ix)-exp(-ix) exp(ix)+exp(-ix)
2*----------------*---------------- =
        2i                2

(exp(ix)-exp(-ix))(exp(ix)+exp(-ix))
------------------------------------ =
                 2i

(exp(ix))^2-(exp(-ix))^2
------------------------ =
           2i

exp(2ix)-exp(-2ix)
------------------ =
       2i

sin(2x)                    

1:

long t = System.currentTimeMillis();                    

1:
2:
3:

a_n = a_(n-1)
x^g = g      ; g = 2
...                    

1:

//EDIT: Mache ich doch besser erst, wenn die Preisfrage abgelaufen ist...                    

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58225 Rekursionsaufrufe:
4->32->49->15->1->3->6->10->26->23->41->40->24->25->39->42->22->27->37->12->13->
36->45->19->30->34->47->17->8->28->21->43->38->11->14->2->7->9->16->48->33->31->
18->46->35->29->20->44->5 (fehlt ->4 )
bei 54 sind 205609 Rekursionsaufrufe bis zur ersten Lösung 
der Gag:
bei 58 
13 Rekursionsaufrufe                                                                           
4->12->37->44->56->25->39->42->22->27->54->10->6->58->23->41->40->24->57->43->21
->28->36->13->51->30->19->45->55->26->38->11->53->47->34->15->49->32->17->8->1->
3->33->48->52->29->35->46->18->31->50->14->2->7->9->16->20->5                    

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30:
31:
32:
33:
34:
35:
36:
37:
38:
39:

n= 34:
Lösung
1
4->32->17->19->6->30->34->2->14->22->27->9->16->20->29->7->18->31->33->3->1->8-
28->21->15->10->26->23->13->12->24->25->11->5
2 zu Lösung 1
4->32->17  ->8->28->21->15->1->3->33->31->18->7->29->20->16->9->27->22->14->2->34-
>30->19->6->  10->26->23->13->12->24->25->11->5
3 zu Lösung 1
4->32->17->19->  30->6->10->26->23->2->34->15->21->28->8->1->3->13->12->24->25->11
->14->22->27->9->16->33->31->18->7->29->20  ->5
4 zu Lösung 3
4->32->17->19->30->6->10->26->23->  13->12->24->25->11->14->2->34->15->21->28->8->
1->3  ->22->27->9->16->33->31->18->7->29->20->5
5 zu Lösung 1
4->32->17->19->6->30->34->2  ->23->26->10->15->21->28->8->1->3->13->12->24->25->11
->14->22->27->9->16->33->31->18->7->29->20->  5
6 zu Lösung 1
4->32->17->19->6->30->34->2->14->  11->25->24->12->13->23->26->10->15->21->28->8->
1->3->22->27->9->16->33->31->18->7->29->20  ->5
7 zu Lösung 4
4->32->17->19->30->6->10->26->23->13->  3->1->8->28->21->15->34->2->14->22->27->9-
>16->33->31->18->7->29->20->5->11->25->24->12

8 ....
4->32->17->19->6->30->34->  15->10->26->23->2->14->22->27->9->16->33->31->18->7->2
9->20->5->11->25->24->12->13->3->1->8->28->21
9
4->32->17->19->30->34->15->21->28->8->1->24->25->11->5->20->29->7->18->31->33->1
6->9->27->22->14->2->23->26->10->6->3->13->12
10
4->32->17->8->28->21->15->34->30->19->6->10->26->23->2->14->22->27->9->16->33->31
->18->7->29->20->5->11->25->24->1->3->13->12
11
4->32->17->8->28->21->15->1->3->13->23->26->10->6->19->30->34->  2->14->22->27->9-
>16->33->31->18->7->29->20->5->11->25->24->12

Rekursionsaufrufe
1.737.773.518                    

1:
2:
3:
4:
5:

_______
|     |
|  x  x
|     |
-------                    

1:
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11:
12:
13:
14:
15:
16:

         v-5ft
1ft>  |____
      |   /
xft>  |  /
      | /  < (x+1)ft
      |/


gesucht x:

(x+1)^2 = 5^2 + x^2

x^2+2x+1 = 25+x^2
2x+1 = 25
2x = 24
x = 12                    

1:
2:
3:

u(n) = u(n-1) * n + 1
(e-2) n! = (e-2) (n-1)! * n + 1
(e-2) n! = (e-2) n! + 1                    

1:
2:
3:

a(n) = floor[(e-2)*n! ] = A002627(n)-n! = A000522(n)-2*n! = n!-A056543(n). 

a:=n->sum((n-j)!*binomial(n,j),j=2..n).                    

1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:

(19*a)-(y^3)=12

a=x²-b

b=(q-c)/((c/2)^c)

q²=(p²-1)/13

a,b,c,p,q,x,y Element N (also der Menge der Natürlichen Zahlen)                    

1:
2:
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4:
5:
6:
7:
8:
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10:
11:
12:
13:
14:
15:
16:

 ______
|______|___
   |_______|___
      |________|
        |///////////////|        <- Zur Verdeutlichung, wie das ganze Auszusehen hat.
        |///////////////|



VERBOTEN:
 ______
|______|___ _______
   |_______|_______|___
      |________|_______|          <---Ein beschweren des anderen Endes oder eventuelle andee Tricksereien sind 
        |///////////////|             natürlich nicht erlaubt - lediglich eine Treppe.
        |///////////////|                    

1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:

For a := 2 to 777 div 4 do //div 4, denn a sei die kleinste Zahl 4 x a< 777 
  For b:= a to (777-a) div 3 do// denn b sei die kleinste von den restlichen
    For c:= b to (777-a-b) div 2 do// denn c sei die kleinste von den restlichen
      if a*b*c*d = 777000000 then
         AUsgabe
...
        80       125       222       350        
Versuche :2.544.137

maximale Versuche : 3.219.969                    

1:
2:
3:

n       Sges      S_n
125643 0.9999965 1.7564181
125644 1.0000025 1.7564356                    

1:
2:
3:
4:
5:
6:

        |
       ---------
       |
     ---------
     |
 ---------                    

1:

tan alpha = dy / dx = 30 / 80 = 0,375 => alpha = 20,56°                    

1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:

alpha_2 = 20,56° + 55° = 75,56°
tan 75,56° = m = 3,883

Punktprobe:

f(x) = 3,883x + c
  30 = 3,883 * 30 + c
  30 = 116,49 + c
   c = -86,49                    

1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:

beta_2 = -38,44°
tan -38,44° = -0,794

Punktprobe:

g(x) = -0,794x + c
  60 = -0,794 * 110 + c
  60 = -87,34 + c
   c = 147,34                    

1:
2:
3:
4:

          f(x) = g(x)
3,883x - 86,49 = -0,794x + 147,34
        4,677x = 233,83
             x = 50                    

1:
2:
3:
4:
5:
6:

Länge(AB) = sqrt(7300)
gamma = 180° - alpha - beta = 66°
Sinussatz: c (= Länge(AP)) = Länge(AB) / sin gamma * sin beta ~= 80,2
w = arctan(3/8) + 55° ; Winkel von AP zur Horizontalen, siehe GTA-Place
=> P(30 + c * cos w | 30 + c * sin w)
P(50,0|107,6)                    

1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:

geg:
  P(1/1)
  Q(5/4,5)
  f(x) = 2x - 10
  g(x) = 7

ges:
  Länge des kürzesten Weges w, der P, den graphen von f, den Graphen von g und Q in dieser Reihenfolge verbindet.                    

1:
2:
3:
4:
5:

z = 4
x^z = 4

Somit:
x = 4^(1/4), die vierte Wurzel aus 4 = Sqrt(2)                    

1:
2:
3:

x = Round(50 * A(50) + 33 * A(33) + A(1) [+ n * A(n), aber andere Tipps dürften hoffentlich Randerscheinungen sein])

mit der Anteilsfunktion A, die von einer Zahl auf den Anteil der Tipper(somit [0;1]) abbildet.                    

1:
2:
3:
4:
5:

    r = ln(phi)
<=> Sqrt(x^2 + y^2) = ln(arctan(y/x))
<=> tan(exp(Sqrt(x^2 + y^2))) - y/x = 0

->f(x, y) = tan(exp(Sqrt(x^2+y^2))) - y/x