Hi

In diesem Thread möchte ich mal schöne mathematische Probleme und Knobeleien sammeln, mit denen man sich auch mal ein paar Tage beschäftigen kann.

Index:


• Hidden hat folgendes geschrieben :

  Leiterproblem
  

• Swordooo hat folgendes geschrieben :

  Autos auf der Rennbahn
  

• Stübi hat folgendes geschrieben :

  Quadrat aus Teilflächen
  

• Hidden hat folgendes geschrieben :

  Sinus und Cosinus berühren sich
  

• Hidden hat folgendes geschrieben :

  qed: 2 * Sin(x) * Cos(x) = Sin(2x)
  

• Hidden hat folgendes geschrieben :

  Springer auf dem Schachbrett
  

• Gausi hat folgendes geschrieben :

  Gefangenenaufgabe
  

• Gausi hat folgendes geschrieben :

  Lösung
  

• Hidden hat folgendes geschrieben :

  • Cogito 10|08: x^(x^(x^..)) = 2;
    
  • Cogito 11|08: Quadratzahlenring (Cogito ist ein Rätsel der Zeitschrift "Bild der Wissenschaft")
    
  • Welche Funktionen erfüllen f(x) = f'(x)?
  
  

• wunsiedler hat folgendes geschrieben :

  Gefangenenaufgabe, php-Template
  

• Hidden hat folgendes geschrieben :

  Für welche Basis a berührt die Exponentialfunktion ihre Umkehrfunktion?
  

• GTA-Place hat folgendes geschrieben :

  u(n) = u(n - 1) * n + 1
  

• Snippi der Große hat folgendes geschrieben :

  Das Unglücksschilfrohr
  

• Xabitire hat folgendes geschrieben :

  Gleichungssystem natürlicher Zahlen
  

• der organist hat folgendes geschrieben :

  Ein Integral
  

• Mortal-Shadow hat folgendes geschrieben :

  Dominosteinstapel
  

• Boldar hat folgendes geschrieben :

  Wehrwolf, Chancenverteilung
  

• Hidden hat folgendes geschrieben :

  stumme Wichtel sortieren
  

• Hugo343 hat folgendes geschrieben :

  Dreieck im Koordinatensystem: Sinus- und Cosinussatz
  

• Hidden hat folgendes geschrieben :

  • Lösung Cogito 9|08: x^(x^(..))
    
  • Lösung Cogito 10|08: Quadratzahlenkreis
    
    
  • Cogito 11|08: Kürzester Weg zwischen Punkt-Gerade-Gerade-Punkt
    
  • Cogito 12|08: Kallender
  
  

Cyan: Ausstehendes Preisrätsel, bitte noch nicht auflösen. Danke

Ich fange einfach mal mit dem Leiterproblem an:

Eine 7 Meter lange Leiter steht, über einen 1x1-Block gelehnt, an einer Wand. Sie berührt also die Wand und den Boden, außerdem die Ecke des Kastens. Gesucht ist die Höhe, in der die Leiter die Wand berührt. Es soll eine Lösung mit möglichst einfachen Mitteln sein, also keine Trigonometrie.

mfG,

Was ist überhaupt die Frage ?

AXMD

Ich denke mal, "wie breit muss der Kasten sein, damit alle Bedingungen erfüllt sind".
Dann würde aber noch die Vorrausetzung fehlen, dass der Kasten einen Würfel beschreibt.

Ups

hab gerad n bissel in Paint gezeichnet und lade gleich ein Bild rein. Dass die Höhe, in der die Leiter die Wand berührt, gesucht ist, steht dann auch im Hauptpost

mfG,

kann ich hier nicht mit dem alten pythagoras angedackelt kommen??
a^2=b^2+c^2
Vorraussetzung: rechtwinkliges Dreieck ist ja gegeben.
die seite c ist hier 7 m lang, d.h:
a^2+1m^2=7m^2
a=6m, oder bin ich blöd??
..wär jetz ja schon peinlich wenn da ein denkfehler drin ist....

pigfacejoe hat folgendes geschrieben:

kann ich hier nicht mit dem alten pythagoras angedackelt kommen?? a^2=b^2+c^2 Vorraussetzung: rechtwinkliges Dreieck ist ja gegeben. die seite c ist hier 7 m lang, d.h: a^2+1m^2=7m^2 a=6m, oder bin ich blöd?? ..wär jetz ja schon peinlich wenn da ein denkfehler drin ist....

Die untere Kathete (dein b) ist nicht nur 1m. Da ist noch ein Stück, aber peinlich braucht dir das trotzdem nicht zu sein. Ich überleg' auch schon die ganze Zeit wie das zu lösen ist. Doch irgendwie mit 'nem Strahlensatz, oder?

Gruß
--

Wie kommst du auf die Frage? Deine Hausaufgaben?

1. Länge der Leiter: (1+a)^2+(1+b)^2=7^2
2. Seitenverhältnis beider Dreiecke: 1/b=a/1
a>0: das Stück an der Wand oberalb der Kiste
b>0: das Stück am Boden rechts von der Kiste

Die zu lösende Gleichung also:
(1+a)^2+(1+1/a)^2=7^2

Dann gibt es die zwei Lösungen: 1+a und 1+1/a

Gibt wohl wegen dem 1/a in der Wurzel eine Gleichung 4-ten Grades. Die expliziten Lösungen kannst du dir selbst ausrechnen

Alternativ ginge auch noch die Bedingung sqrt(a^2+1)+sqrt(b^2+1)=7, die erste Gleichung erscheint mir jedoch einfacher.

Hi,

delfiphan hat folgendes geschrieben:

Wie kommst du auf die Frage? Deine Hausaufgaben

Ein ehemaliger Lehrer von mir hat die mal gestellt. Ich habe übrigens gerade Ferien

Wie gesagt sollen hier solche Probleme gesammelt werden, nicht unbedingt gelöst, kann aber auch.

mfG,

@calculon, delfiphan: Na, da bin ich ja mal beruhigt. Ich hab gestern recht schnell aufgegeben, weil ich gedacht habe "Ne...hoch vier, und das soll doch einfach gehen...da hast du bestimmt was billiges übersehen ". Aber schön zu sehen, dass es nicht nur mir so geht.

Kurzer Einschub: Ich habe das Problem selbst noch nicht gelöst. Vermute mal, 'einfach' heißt ohne Taschenrechner(daher keine Trigonometrie). Die Lösung auf Papier soll wohl zwei Seiten lang sein.. obwohl ich nicht glaube, dass das optimiert ist .

Ich glaube da müsste man noch einen Winkel haben oder ? Dann wäre das ganze nicht mehr so schwer...wenn man z.B noch zu dem 90° Winkel einen Zweiten hätte dann würde sich ja WSW anbieten udn es müsste rauskommen wie hoch die Leiter führt =)

Am einfachsten wäre wohl eine geometrische Lösung mit Hilfe einer maßstabsgetreuen Zeichnung. Erst den Block hinmalen (1cm x 1cm), dann die untere und linke/rechte Seite stark verlängern und mit einem Geodreieck ansetzen und schauen, dass die zu zeichnende Linie durch den Eckpunkt des Blocks geht und 7cm lang ist. Dann kan man die Höhe messen und auf Meter umrechnen.



Gruß
--

btw:

Die Dreiecke sind ja eigentlich ähnliche Dreiecke... Strahlensatz ?!

Ich hätte das jetzt versucht mit Vektoren zu lösen.
Hab es auch mit Descartes überprüft.
Mein Ergebnis lautet: Die Leiter Berührt die Wand in einer Höhe von 6,9100LE.

Meine Gerade hat eine Länge von 7,00082LE. Die Fehlerabweichung ist also mininmal.
g: x = (0 1 1) + a [(0 -1 12,82) - (0 1 1)]

Grüße,
Marc.

Wenn ich die Gleichung lösen lasse, die ich mir zusammengefrickelt habe (0 = h^4 - 2h^3 -47h^2 + 98h - 49, erhalten aus 2x Strahlensatz und 1x Pythagoras), bekomme ich h1 = 0.8741379352, h2 = 1.169444916, h3 = 6.901622895 und h4 = -6.945205747 als Lösungen. 1,2 und 4 kann man irgendwie wegdiskutieren, bleibt also h3 = 6.90, oder genauer sqrt(47/4 - 5*sqrt(2)/2) + 5*sqrt(2)/2 + 1/2.

Wenn ich etwas genauer rechne, komme ich auch auf ~ 6,9010.
Damit wäre das Problem ja gelöst.

Schade niemand selber noch was zum posten? Es sollen ja ausdrücklich Knobeleien gesammelt werden..

Edit: btw - wie habt ihr die Gleichung(4. Ordnung!) denn gelöst? Vielleicht nur einen Link zum Verfahren. Mit NRW.Gymnasium[11/12] wüsst ich garnicht, wie ich da rangehen sollte soweit war ich schon vor nem Jahr als ichs zur Seite gelegt hab .

Derive kann das . Wie man die sonst löst, weiß ich nicht. Die üblichen Tricks wie Nullstellen raten oder Substitution greifen hier nicht, weil alle vier Lösungen nicht rational sind, und nicht nur gerade Exponenten auftauchen. Ich könnte mir vorstellen, dass die Aufgabe nächstes Jahr als Zentral-Abitur-Aufgabe kommt. Die sieht ja auf den ersten Blick ganz einfach aus .

Ich würd auch was posten, aber zur Zeit hab ich keine Knobelei parat.

Für 4. Ordnung gibt's noch 'ne Lösungsformel: Wikipedia hilft hier weiter.

Wikipedia!